Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27766 / 22122
↖ ↑ ↗
← N 50.366489°
W 27.476806°		 ← 389.61 m → N 50.366489°
W 27.471313°		 →
↑
389.65 m
↓
↑
389.65 m
↓
N 50.362984°
W 27.476806°		 ← 389.63 m →
151 816 m²		 N 50.362984°
W 27.471313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423683166503906 y=0.337562561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423683166503906 × 216)
    floor (0.423683166503906 × 65536)
    floor (27766.5)     		tx = 27766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337562561035156 × 216)
    floor (0.337562561035156 × 65536)
    floor (22122.5)     		ty = 22122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27766 / 22122 ti = "16/27766/22122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27766/22122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27766 ÷ 216
    27766 ÷ 65536     		x = 0.423675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22122 ÷ 216
    22122 ÷ 65536     		y = 0.337554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.15264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47956074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337554931640625 × 2 - 1) × π
    0.32489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02067246671024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47956074} λ = -0.47956074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02067246671024))-π/2
    2×atan(2.77506027229989)-π/2
    2×1.2249286941774-π/2
    2.4498573883548-1.57079632675     		φ = 0.87906106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47956074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.476806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87906106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.366489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27766 KachelY 22122 -0.47956074 0.87906106 -27.476806 50.366489
    Oben rechts KachelX + 1 27767 KachelY 22122 -0.47946487 0.87906106 -27.471313 50.366489
    Unten links KachelX 27766 KachelY + 1 22123 -0.47956074 0.87899990 -27.476806 50.362984
    Unten rechts KachelX + 1 27767 KachelY + 1 22123 -0.47946487 0.87899990 -27.471313 50.362984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87906106-0.87899990) × R
    6.11600000000045e-05 × 6371000     		dl = 389.650360000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87906106-0.87899990) × R
    6.11600000000045e-05 × 6371000     		dr = 389.650360000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47956074--0.47946487) × cos(0.87906106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637874540796345 × 6371000     		do = 389.605968312765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47956074--0.47946487) × cos(0.87899990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637921641383608 × 6371000     		du = 389.634736775425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87906106)-sin(0.87899990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637874540796345-0.637921641383608)×R²
    abs(-0.47946487--0.47956074)×4.71005872634267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71005872634267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71005872634267e-05×40589641000000     		ar = 151815.710679504m²