Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27765 / 22258
↖ ↑ ↗
← N 49.887557°
W 27.482300°		 ← 393.57 m → N 49.887557°
W 27.476806°		 →
↑
393.60 m
↓
↑
393.60 m
↓
N 49.884017°
W 27.482300°		 ← 393.59 m →
154 913 m²		 N 49.884017°
W 27.476806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423667907714844 y=0.339637756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423667907714844 × 216)
    floor (0.423667907714844 × 65536)
    floor (27765.5)     		tx = 27765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339637756347656 × 216)
    floor (0.339637756347656 × 65536)
    floor (22258.5)     		ty = 22258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27765 / 22258 ti = "16/27765/22258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27765/22258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27765 ÷ 216
    27765 ÷ 65536     		x = 0.423660278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22258 ÷ 216
    22258 ÷ 65536     		y = 0.339630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423660278320312 × 2 - 1) × π
    -0.152679443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47965662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339630126953125 × 2 - 1) × π
    0.32073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00763363001358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47965662} λ = -0.47965662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00763363001358))-π/2
    2×atan(2.73911158840072)-π/2
    2×1.2207492220543-π/2
    2.4414984441086-1.57079632675     		φ = 0.87070212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47965662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.482300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87070212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.887557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27765 KachelY 22258 -0.47965662 0.87070212 -27.482300 49.887557
    Oben rechts KachelX + 1 27766 KachelY 22258 -0.47956074 0.87070212 -27.476806 49.887557
    Unten links KachelX 27765 KachelY + 1 22259 -0.47965662 0.87064034 -27.482300 49.884017
    Unten rechts KachelX + 1 27766 KachelY + 1 22259 -0.47956074 0.87064034 -27.476806 49.884017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87070212-0.87064034) × R
    6.17800000000113e-05 × 6371000     		dl = 393.600380000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87070212-0.87064034) × R
    6.17800000000113e-05 × 6371000     		dr = 393.600380000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47965662--0.47956074) × cos(0.87070212) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64428973770996 × 6371000     		do = 393.565339828911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47965662--0.47956074) × cos(0.87064034) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64433698468109 × 6371000     		du = 393.594200711151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87070212)-sin(0.87064034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64428973770996-0.64433698468109)×R²
    abs(-0.47956074--0.47965662)×4.72469711296775e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72469711296775e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72469711296775e-05×40589641000000     		ar = 154913.147188083m²