Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27765 / 21427
↖ ↑ ↗
← N 52.739617°
W 27.482300°		 ← 369.83 m → N 52.739617°
W 27.476806°		 →
↑
369.84 m
↓
↑
369.84 m
↓
N 52.736291°
W 27.482300°		 ← 369.86 m →
136 783 m²		 N 52.736291°
W 27.476806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423667907714844 y=0.326957702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423667907714844 × 216)
    floor (0.423667907714844 × 65536)
    floor (27765.5)     		tx = 27765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326957702636719 × 216)
    floor (0.326957702636719 × 65536)
    floor (21427.5)     		ty = 21427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27765 / 21427 ti = "16/27765/21427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27765/21427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27765 ÷ 216
    27765 ÷ 65536     		x = 0.423660278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21427 ÷ 216
    21427 ÷ 65536     		y = 0.326950073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423660278320312 × 2 - 1) × π
    -0.152679443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47965662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326950073242188 × 2 - 1) × π
    0.346099853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08730475718211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47965662} λ = -0.47965662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08730475718211))-π/2
    2×atan(2.96626847509139)-π/2
    2×1.24563814967035-π/2
    2.49127629934071-1.57079632675     		φ = 0.92047997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47965662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.482300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92047997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.739617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27765 KachelY 21427 -0.47965662 0.92047997 -27.482300 52.739617
    Oben rechts KachelX + 1 27766 KachelY 21427 -0.47956074 0.92047997 -27.476806 52.739617
    Unten links KachelX 27765 KachelY + 1 21428 -0.47965662 0.92042192 -27.482300 52.736291
    Unten rechts KachelX + 1 27766 KachelY + 1 21428 -0.47956074 0.92042192 -27.476806 52.736291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92047997-0.92042192) × R
    5.80500000000317e-05 × 6371000     		dl = 369.836550000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92047997-0.92042192) × R
    5.80500000000317e-05 × 6371000     		dr = 369.836550000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47965662--0.47956074) × cos(0.92047997) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.605438221966799 × 6371000     		do = 369.832833936959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47965662--0.47956074) × cos(0.92042192) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.60548442249491 × 6371000     		du = 369.861055597932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92047997)-sin(0.92042192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605438221966799-0.60548442249491)×R²
    abs(-0.47956074--0.47965662)×4.62005281109956e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62005281109956e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62005281109956e-05×40589641000000     		ar = 136782.91811924m²