Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27763 / 22279
↖ ↑ ↗
← N 49.813176°
W 27.493286°		 ← 394.17 m → N 49.813176°
W 27.487793°		 →
↑
394.17 m
↓
↑
394.17 m
↓
N 49.809632°
W 27.493286°		 ← 394.20 m →
155 378 m²		 N 49.809632°
W 27.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423637390136719 y=0.339958190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423637390136719 × 216)
    floor (0.423637390136719 × 65536)
    floor (27763.5)     		tx = 27763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339958190917969 × 216)
    floor (0.339958190917969 × 65536)
    floor (22279.5)     		ty = 22279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27763 / 22279 ti = "16/27763/22279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27763/22279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27763 ÷ 216
    27763 ÷ 65536     		x = 0.423629760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22279 ÷ 216
    22279 ÷ 65536     		y = 0.339950561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423629760742188 × 2 - 1) × π
    -0.152740478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47984837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339950561523438 × 2 - 1) × π
    0.320098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00562028022954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47984837} λ = -0.47984837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00562028022954))-π/2
    2×atan(2.7336023465522)-π/2
    2×1.22010013233514-π/2
    2.44020026467028-1.57079632675     		φ = 0.86940394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47984837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.493286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86940394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.813176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27763 KachelY 22279 -0.47984837 0.86940394 -27.493286 49.813176
    Oben rechts KachelX + 1 27764 KachelY 22279 -0.47975249 0.86940394 -27.487793 49.813176
    Unten links KachelX 27763 KachelY + 1 22280 -0.47984837 0.86934207 -27.493286 49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 27764 KachelY + 1 22280 -0.47975249 0.86934207 -27.487793 49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86940394-0.86934207) × R
    6.18700000000194e-05 × 6371000     		dl = 394.173770000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86940394-0.86934207) × R
    6.18700000000194e-05 × 6371000     		dr = 394.173770000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47984837--0.47975249) × cos(0.86940394) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.645282018569817 × 6371000     		do = 394.171476060958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47984837--0.47975249) × cos(0.86934207) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.645329282577622 × 6371000     		du = 394.200347350077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86940394)-sin(0.86934207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645282018569817-0.645329282577622)×R²
    abs(-0.47975249--0.47984837)×4.72640078047482e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.72640078047482e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.72640078047482e-05×40589641000000     		ar = 155377.746947634m²