Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27762 / 21381
↖ ↑ ↗
← N 52.892335°
W 27.498779°		 ← 368.50 m → N 52.892335°
W 27.493286°		 →
↑
368.50 m
↓
↑
368.50 m
↓
N 52.889021°
W 27.498779°		 ← 368.53 m →
135 796 m²		 N 52.889021°
W 27.493286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423622131347656 y=0.326255798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423622131347656 × 216)
    floor (0.423622131347656 × 65536)
    floor (27762.5)     		tx = 27762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326255798339844 × 216)
    floor (0.326255798339844 × 65536)
    floor (21381.5)     		ty = 21381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27762 / 21381 ti = "16/27762/21381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27762/21381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27762 ÷ 216
    27762 ÷ 65536     		x = 0.423614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21381 ÷ 216
    21381 ÷ 65536     		y = 0.326248168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.15277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47994424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326248168945312 × 2 - 1) × π
    0.347503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09171495194716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47994424} λ = -0.47994424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09171495194716))-π/2
    2×atan(2.97937918593605)-π/2
    2×1.24697085802408-π/2
    2.49394171604816-1.57079632675     		φ = 0.92314539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47994424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.498779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92314539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.892335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27762 KachelY 21381 -0.47994424 0.92314539 -27.498779 52.892335
    Oben rechts KachelX + 1 27763 KachelY 21381 -0.47984837 0.92314539 -27.493286 52.892335
    Unten links KachelX 27762 KachelY + 1 21382 -0.47994424 0.92308755 -27.498779 52.889021
    Unten rechts KachelX + 1 27763 KachelY + 1 21382 -0.47984837 0.92308755 -27.493286 52.889021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92314539-0.92308755) × R
    5.78399999999757e-05 × 6371000     		dl = 368.498639999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92314539-0.92308755) × R
    5.78399999999757e-05 × 6371000     		dr = 368.498639999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47994424--0.47984837) × cos(0.92314539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603314686558381 × 6371000     		do = 368.497232011234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47994424--0.47984837) × cos(0.92308755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603360813135527 × 6371000     		du = 368.525405560427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92314539)-sin(0.92308755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603314686558381-0.603360813135527)×R²
    abs(-0.47984837--0.47994424)×4.61265771461994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61265771461994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61265771461994e-05×40589641000000     		ar = 135795.919835102m²