Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27761 / 21468
↖ ↑ ↗
← N 52.603048°
W 27.504272°		 ← 370.95 m → N 52.603048°
W 27.498779°		 →
↑
370.98 m
↓
↑
370.98 m
↓
N 52.599711°
W 27.504272°		 ← 370.98 m →
137 622 m²		 N 52.599711°
W 27.498779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423606872558594 y=0.327583312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423606872558594 × 216)
    floor (0.423606872558594 × 65536)
    floor (27761.5)     		tx = 27761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327583312988281 × 216)
    floor (0.327583312988281 × 65536)
    floor (21468.5)     		ty = 21468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27761 / 21468 ti = "16/27761/21468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27761/21468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27761 ÷ 216
    27761 ÷ 65536     		x = 0.423599243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21468 ÷ 216
    21468 ÷ 65536     		y = 0.32757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423599243164062 × 2 - 1) × π
    -0.152801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48004011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32757568359375 × 2 - 1) × π
    0.3448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08337393141327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48004011} λ = -0.48004011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08337393141327))-π/2
    2×atan(2.95463147702211)-π/2
    2×1.24444635141137-π/2
    2.48889270282274-1.57079632675     		φ = 0.91809638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48004011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91809638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.603048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27761 KachelY 21468 -0.48004011 0.91809638 -27.504272 52.603048
    Oben rechts KachelX + 1 27762 KachelY 21468 -0.47994424 0.91809638 -27.498779 52.603048
    Unten links KachelX 27761 KachelY + 1 21469 -0.48004011 0.91803815 -27.504272 52.599711
    Unten rechts KachelX + 1 27762 KachelY + 1 21469 -0.47994424 0.91803815 -27.498779 52.599711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91809638-0.91803815) × R
    5.8230000000048e-05 × 6371000     		dl = 370.983330000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91809638-0.91803815) × R
    5.8230000000048e-05 × 6371000     		dr = 370.983330000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48004011--0.47994424) × cos(0.91809638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607333581208831 × 6371000     		do = 370.951923712648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48004011--0.47994424) × cos(0.91803815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60737984082376 × 6371000     		du = 370.980178519691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91809638)-sin(0.91803815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607333581208831-0.60737984082376)×R²
    abs(-0.47994424--0.48004011)×4.62596149283234e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62596149283234e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62596149283234e-05×40589641000000     		ar = 137622.220999155m²