Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27760 / 21466
↖ ↑ ↗
← N 52.609719°
W 27.509766°		 ← 370.93 m → N 52.609719°
W 27.504272°		 →
↑
370.92 m
↓
↑
370.92 m
↓
N 52.606384°
W 27.509766°		 ← 370.96 m →
137 592 m²		 N 52.606384°
W 27.504272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423591613769531 y=0.327552795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423591613769531 × 216)
    floor (0.423591613769531 × 65536)
    floor (27760.5)     		tx = 27760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327552795410156 × 216)
    floor (0.327552795410156 × 65536)
    floor (21466.5)     		ty = 21466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27760 / 21466 ti = "16/27760/21466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27760/21466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27760 ÷ 216
    27760 ÷ 65536     		x = 0.423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21466 ÷ 216
    21466 ÷ 65536     		y = 0.327545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.15283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48013599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327545166015625 × 2 - 1) × π
    0.34490966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08356567901175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48013599} λ = -0.48013599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08356567901175))-π/2
    2×atan(2.95519807483237)-π/2
    2×1.24450457435462-π/2
    2.48900914870923-1.57079632675     		φ = 0.91821282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48013599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.509766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91821282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.609719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27760 KachelY 21466 -0.48013599 0.91821282 -27.509766 52.609719
    Oben rechts KachelX + 1 27761 KachelY 21466 -0.48004011 0.91821282 -27.504272 52.609719
    Unten links KachelX 27760 KachelY + 1 21467 -0.48013599 0.91815460 -27.509766 52.606384
    Unten rechts KachelX + 1 27761 KachelY + 1 21467 -0.48004011 0.91815460 -27.504272 52.606384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91821282-0.91815460) × R
    5.82199999999977e-05 × 6371000     		dl = 370.919619999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91821282-0.91815460) × R
    5.82199999999977e-05 × 6371000     		dr = 370.919619999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48013599--0.48004011) × cos(0.91821282) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.607241071691566 × 6371000     		do = 370.934107359551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48013599--0.48004011) × cos(0.91815460) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.60728732747942 × 6371000     		du = 370.96236277602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91821282)-sin(0.91815460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607241071691566-0.60728732747942)×R²
    abs(-0.48004011--0.48013599)×4.62557878533332e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62557878533332e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62557878533332e-05×40589641000000     		ar = 137591.978429696m²