Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2776 / 5991
↖ ↑ ↗
← S 63.685248°
W 58.007813°		 ← 2 166.19 m → S 63.685248°
W 57.963867°		 →
↑
2 165.50 m
↓
↑
2 165.50 m
↓
S 63.704723°
W 58.007813°		 ← 2 164.70 m →
4 689 283 m²		 S 63.704723°
W 57.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33892822265625 y=0.73138427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33892822265625 × 213)
    floor (0.33892822265625 × 8192)
    floor (2776.5)     		tx = 2776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73138427734375 × 213)
    floor (0.73138427734375 × 8192)
    floor (5991.5)     		ty = 5991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2776 / 5991 ti = "13/2776/5991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2776/5991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2776 ÷ 213
    2776 ÷ 8192     		x = 0.3388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5991 ÷ 213
    5991 ÷ 8192     		y = 0.7313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3388671875 × 2 - 1) × π
    -0.322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01242732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4534467964801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01242732} λ = -1.01242732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4534467964801))-π/2
    2×atan(0.233763163846048)-π/2
    2×0.229639531431277-π/2
    0.459279062862555-1.57079632675     		φ = -1.11151726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01242732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11151726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.685248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2776 KachelY 5991 -1.01242732 -1.11151726 -58.007813 -63.685248
    Oben rechts KachelX + 1 2777 KachelY 5991 -1.01166033 -1.11151726 -57.963867 -63.685248
    Unten links KachelX 2776 KachelY + 1 5992 -1.01242732 -1.11185716 -58.007813 -63.704723
    Unten rechts KachelX + 1 2777 KachelY + 1 5992 -1.01166033 -1.11185716 -57.963867 -63.704723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11151726--1.11185716) × R
    0.000339899999999949 × 6371000     		dl = 2165.50289999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11151726--1.11185716) × R
    0.000339899999999949 × 6371000     		dr = 2165.50289999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01242732--1.01166033) × cos(-1.11151726) × R
    0.000766990000000023 × 0.443301997652667 × 6371000     		do = 2166.19223697342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01242732--1.01166033) × cos(-1.11185716) × R
    0.000766990000000023 × 0.442997295098646 × 6371000     		du = 2164.70330998775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11151726)-sin(-1.11185716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443301997652667-0.442997295098646)×R²
    abs(-1.01166033--1.01242732)×0.000304702554020209×R²
    0.000766990000000023×0.000304702554020209×6371000²
    0.000766990000000023×0.000304702554020209×40589641000000     		ar = 4689283.47841542m²