Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27758 / 21404
↖ ↑ ↗
← N 52.816043°
W 27.520752°		 ← 369.15 m → N 52.816043°
W 27.515259°		 →
↑
369.14 m
↓
↑
369.14 m
↓
N 52.812723°
W 27.520752°		 ← 369.17 m →
136 270 m²		 N 52.812723°
W 27.515259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423561096191406 y=0.326606750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423561096191406 × 216)
    floor (0.423561096191406 × 65536)
    floor (27758.5)     		tx = 27758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326606750488281 × 216)
    floor (0.326606750488281 × 65536)
    floor (21404.5)     		ty = 21404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27758 / 21404 ti = "16/27758/21404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27758/21404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27758 ÷ 216
    27758 ÷ 65536     		x = 0.423553466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21404 ÷ 216
    21404 ÷ 65536     		y = 0.32659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.15289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48032773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32659912109375 × 2 - 1) × π
    0.3468017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08950985456464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48032773} λ = -0.48032773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08950985456464))-π/2
    2×atan(2.9728166029181)-π/2
    2×1.24630508917207-π/2
    2.49261017834415-1.57079632675     		φ = 0.92181385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48032773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.520752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92181385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.816043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27758 KachelY 21404 -0.48032773 0.92181385 -27.520752 52.816043
    Oben rechts KachelX + 1 27759 KachelY 21404 -0.48023186 0.92181385 -27.515259 52.816043
    Unten links KachelX 27758 KachelY + 1 21405 -0.48032773 0.92175591 -27.520752 52.812723
    Unten rechts KachelX + 1 27759 KachelY + 1 21405 -0.48023186 0.92175591 -27.515259 52.812723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92181385-0.92175591) × R
    5.79400000000341e-05 × 6371000     		dl = 369.135740000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92181385-0.92175591) × R
    5.79400000000341e-05 × 6371000     		dr = 369.135740000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48032773--0.48023186) × cos(0.92181385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604376058846691 × 6371000     		do = 369.145505224351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48032773--0.48023186) × cos(0.92175591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604422218582554 × 6371000     		du = 369.173699026482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92181385)-sin(0.92175591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604376058846691-0.604422218582554)×R²
    abs(-0.48023186--0.48032773)×4.61597358625276e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61597358625276e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61597358625276e-05×40589641000000     		ar = 136270.002947171m²