Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27757 / 21389
↖ ↑ ↗
← N 52.865814°
W 27.526245°		 ← 368.76 m → N 52.865814°
W 27.520752°		 →
↑
368.75 m
↓
↑
368.75 m
↓
N 52.862497°
W 27.526245°		 ← 368.79 m →
135 987 m²		 N 52.862497°
W 27.520752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423545837402344 y=0.326377868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423545837402344 × 216)
    floor (0.423545837402344 × 65536)
    floor (27757.5)     		tx = 27757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326377868652344 × 216)
    floor (0.326377868652344 × 65536)
    floor (21389.5)     		ty = 21389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27757 / 21389 ti = "16/27757/21389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27757/21389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27757 ÷ 216
    27757 ÷ 65536     		x = 0.423538208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21389 ÷ 216
    21389 ÷ 65536     		y = 0.326370239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423538208007812 × 2 - 1) × π
    -0.152923583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48042361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326370239257812 × 2 - 1) × π
    0.347259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09094796155324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48042361} λ = -0.48042361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09094796155324))-π/2
    2×atan(2.97709490684263)-π/2
    2×1.24673941897177-π/2
    2.49347883794354-1.57079632675     		φ = 0.92268251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48042361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.526245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92268251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.865814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27757 KachelY 21389 -0.48042361 0.92268251 -27.526245 52.865814
    Oben rechts KachelX + 1 27758 KachelY 21389 -0.48032773 0.92268251 -27.520752 52.865814
    Unten links KachelX 27757 KachelY + 1 21390 -0.48042361 0.92262463 -27.526245 52.862497
    Unten rechts KachelX + 1 27758 KachelY + 1 21390 -0.48032773 0.92262463 -27.520752 52.862497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92268251-0.92262463) × R
    5.78800000000657e-05 × 6371000     		dl = 368.753480000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92268251-0.92262463) × R
    5.78800000000657e-05 × 6371000     		dr = 368.753480000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48042361--0.48032773) × cos(0.92268251) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.603683770204098 × 6371000     		do = 368.761124481125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48042361--0.48032773) × cos(0.92262463) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.603729912510712 × 6371000     		du = 368.789310577411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92268251)-sin(0.92262463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603683770204098-0.603729912510712)×R²
    abs(-0.48032773--0.48042361)×4.61423066141498e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61423066141498e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61423066141498e-05×40589641000000     		ar = 135987.144839745m²