Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27756 / 21402
↖ ↑ ↗
← N 52.822683°
W 27.531738°		 ← 369.09 m → N 52.822683°
W 27.526245°		 →
↑
369.14 m
↓
↑
369.14 m
↓
N 52.819363°
W 27.531738°		 ← 369.12 m →
136 249 m²		 N 52.819363°
W 27.526245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423530578613281 y=0.326576232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423530578613281 × 216)
    floor (0.423530578613281 × 65536)
    floor (27756.5)     		tx = 27756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326576232910156 × 216)
    floor (0.326576232910156 × 65536)
    floor (21402.5)     		ty = 21402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27756 / 21402 ti = "16/27756/21402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27756/21402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27756 ÷ 216
    27756 ÷ 65536     		x = 0.42352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21402 ÷ 216
    21402 ÷ 65536     		y = 0.326568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.1529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48051948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326568603515625 × 2 - 1) × π
    0.34686279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08970160216312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48051948} λ = -0.48051948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08970160216312))-π/2
    2×atan(2.97338668801691)-π/2
    2×1.24636302857508-π/2
    2.49272605715017-1.57079632675     		φ = 0.92192973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48051948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.531738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92192973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.822683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27756 KachelY 21402 -0.48051948 0.92192973 -27.531738 52.822683
    Oben rechts KachelX + 1 27757 KachelY 21402 -0.48042361 0.92192973 -27.526245 52.822683
    Unten links KachelX 27756 KachelY + 1 21403 -0.48051948 0.92187179 -27.531738 52.819363
    Unten rechts KachelX + 1 27757 KachelY + 1 21403 -0.48042361 0.92187179 -27.526245 52.819363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92192973-0.92187179) × R
    5.79400000000341e-05 × 6371000     		dl = 369.135740000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92192973-0.92187179) × R
    5.79400000000341e-05 × 6371000     		dr = 369.135740000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48051948--0.48042361) × cos(0.92192973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604283733288371 × 6371000     		do = 369.089113902471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48051948--0.48042361) × cos(0.92187179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604329897081912 × 6371000     		du = 369.117310182982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92192973)-sin(0.92187179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604283733288371-0.604329897081912)×R²
    abs(-0.48042361--0.48051948)×4.61637935411652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61637935411652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61637935411652e-05×40589641000000     		ar = 136249.187351887m²