Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27755 / 22229
↖ ↑ ↗
← N 49.990084°
W 27.537232°		 ← 392.73 m → N 49.990084°
W 27.531738°		 →
↑
392.71 m
↓
↑
392.71 m
↓
N 49.986552°
W 27.537232°		 ← 392.76 m →
154 234 m²		 N 49.986552°
W 27.531738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423515319824219 y=0.339195251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423515319824219 × 216)
    floor (0.423515319824219 × 65536)
    floor (27755.5)     		tx = 27755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339195251464844 × 216)
    floor (0.339195251464844 × 65536)
    floor (22229.5)     		ty = 22229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27755 / 22229 ti = "16/27755/22229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27755/22229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27755 ÷ 216
    27755 ÷ 65536     		x = 0.423507690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22229 ÷ 216
    22229 ÷ 65536     		y = 0.339187622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423507690429688 × 2 - 1) × π
    -0.152984619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48061536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339187622070312 × 2 - 1) × π
    0.321624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01041397019154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48061536} λ = -0.48061536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01041397019154))-π/2
    2×atan(2.74673784728611)-π/2
    2×1.22164394231835-π/2
    2.44328788463671-1.57079632675     		φ = 0.87249156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48061536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.537232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87249156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.990084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27755 KachelY 22229 -0.48061536 0.87249156 -27.537232 49.990084
    Oben rechts KachelX + 1 27756 KachelY 22229 -0.48051948 0.87249156 -27.531738 49.990084
    Unten links KachelX 27755 KachelY + 1 22230 -0.48061536 0.87242992 -27.537232 49.986552
    Unten rechts KachelX + 1 27756 KachelY + 1 22230 -0.48051948 0.87242992 -27.531738 49.986552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87249156-0.87242992) × R
    6.1640000000085e-05 × 6371000     		dl = 392.708440000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87249156-0.87242992) × R
    6.1640000000085e-05 × 6371000     		dr = 392.708440000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48061536--0.48051948) × cos(0.87249156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642920176304963 × 6371000     		do = 392.728741217717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48061536--0.48051948) × cos(0.87242992) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642967387205193 × 6371000     		du = 392.757580065995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87249156)-sin(0.87242992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642920176304963-0.642967387205193)×R²
    abs(-0.48051948--0.48061536)×4.7210900230632e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7210900230632e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7210900230632e-05×40589641000000     		ar = 154233.553985615m²