Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27755 / 21398
↖ ↑ ↗
← N 52.835958°
W 27.537232°		 ← 369.01 m → N 52.835958°
W 27.531738°		 →
↑
368.94 m
↓
↑
368.94 m
↓
N 52.832640°
W 27.537232°		 ← 369.04 m →
136 151 m²		 N 52.832640°
W 27.531738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423515319824219 y=0.326515197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423515319824219 × 216)
    floor (0.423515319824219 × 65536)
    floor (27755.5)     		tx = 27755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326515197753906 × 216)
    floor (0.326515197753906 × 65536)
    floor (21398.5)     		ty = 21398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27755 / 21398 ti = "16/27755/21398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27755/21398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27755 ÷ 216
    27755 ÷ 65536     		x = 0.423507690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21398 ÷ 216
    21398 ÷ 65536     		y = 0.326507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423507690429688 × 2 - 1) × π
    -0.152984619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48061536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326507568359375 × 2 - 1) × π
    0.34698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09008509736008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48061536} λ = -0.48061536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09008509736008))-π/2
    2×atan(2.97452718620428)-π/2
    2×1.24647888082801-π/2
    2.49295776165601-1.57079632675     		φ = 0.92216143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48061536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.537232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92216143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.835958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27755 KachelY 21398 -0.48061536 0.92216143 -27.537232 52.835958
    Oben rechts KachelX + 1 27756 KachelY 21398 -0.48051948 0.92216143 -27.531738 52.835958
    Unten links KachelX 27755 KachelY + 1 21399 -0.48061536 0.92210352 -27.537232 52.832640
    Unten rechts KachelX + 1 27756 KachelY + 1 21399 -0.48051948 0.92210352 -27.531738 52.832640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92216143-0.92210352) × R
    5.79099999999944e-05 × 6371000     		dl = 368.944609999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92216143-0.92210352) × R
    5.79099999999944e-05 × 6371000     		dr = 368.944609999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48061536--0.48051948) × cos(0.92216143) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604099105644241 × 6371000     		do = 369.014832749433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48061536--0.48051948) × cos(0.92210352) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604145253642953 × 6371000     		du = 369.043022322745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92216143)-sin(0.92210352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604099105644241-0.604145253642953)×R²
    abs(-0.48051948--0.48061536)×4.61479987121649e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61479987121649e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61479987121649e-05×40589641000000     		ar = 136151.233786621m²