Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27753 / 21397
↖ ↑ ↗
← N 52.839277°
W 27.548218°		 ← 368.95 m → N 52.839277°
W 27.542725°		 →
↑
369.01 m
↓
↑
369.01 m
↓
N 52.835958°
W 27.548218°		 ← 368.98 m →
136 150 m²		 N 52.835958°
W 27.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423484802246094 y=0.326499938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423484802246094 × 216)
    floor (0.423484802246094 × 65536)
    floor (27753.5)     		tx = 27753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326499938964844 × 216)
    floor (0.326499938964844 × 65536)
    floor (21397.5)     		ty = 21397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27753 / 21397 ti = "16/27753/21397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27753/21397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27753 ÷ 216
    27753 ÷ 65536     		x = 0.423477172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21397 ÷ 216
    21397 ÷ 65536     		y = 0.326492309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423477172851562 × 2 - 1) × π
    -0.153045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48080710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326492309570312 × 2 - 1) × π
    0.347015380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09018097115932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48080710} λ = -0.48080710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09018097115932))-π/2
    2×atan(2.97481237909761)-π/2
    2×1.24650783835976-π/2
    2.49301567671952-1.57079632675     		φ = 0.92221935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48080710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.548218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92221935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.839277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27753 KachelY 21397 -0.48080710 0.92221935 -27.548218 52.839277
    Oben rechts KachelX + 1 27754 KachelY 21397 -0.48071123 0.92221935 -27.542725 52.839277
    Unten links KachelX 27753 KachelY + 1 21398 -0.48080710 0.92216143 -27.548218 52.835958
    Unten rechts KachelX + 1 27754 KachelY + 1 21398 -0.48071123 0.92216143 -27.542725 52.835958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92221935-0.92216143) × R
    5.79200000000446e-05 × 6371000     		dl = 369.008320000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92221935-0.92216143) × R
    5.79200000000446e-05 × 6371000     		dr = 369.008320000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48080710--0.48071123) × cos(0.92221935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6040529476502 × 6371000     		do = 368.948152857184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48080710--0.48071123) × cos(0.92216143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604099105644241 × 6371000     		du = 368.976345595432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92221935)-sin(0.92216143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6040529476502-0.604099105644241)×R²
    abs(-0.48071123--0.48080710)×4.61579940415069e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61579940415069e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61579940415069e-05×40589641000000     		ar = 136150.13976826m²