Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27752 / 22255
↖ ↑ ↗
← N 49.898173°
W 27.553711°		 ← 393.48 m → N 49.898173°
W 27.548218°		 →
↑
393.47 m
↓
↑
393.47 m
↓
N 49.894634°
W 27.553711°		 ← 393.51 m →
154 829 m²		 N 49.894634°
W 27.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423469543457031 y=0.339591979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423469543457031 × 216)
    floor (0.423469543457031 × 65536)
    floor (27752.5)     		tx = 27752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339591979980469 × 216)
    floor (0.339591979980469 × 65536)
    floor (22255.5)     		ty = 22255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27752 / 22255 ti = "16/27752/22255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27752/22255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27752 ÷ 216
    27752 ÷ 65536     		x = 0.4234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22255 ÷ 216
    22255 ÷ 65536     		y = 0.339584350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339584350585938 × 2 - 1) × π
    0.320831298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0079212514113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48090298} λ = -0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0079212514113))-π/2
    2×atan(2.73989952881312)-π/2
    2×1.22084186762163-π/2
    2.44168373524326-1.57079632675     		φ = 0.87088741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87088741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.898173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27752 KachelY 22255 -0.48090298 0.87088741 -27.553711 49.898173
    Oben rechts KachelX + 1 27753 KachelY 22255 -0.48080710 0.87088741 -27.548218 49.898173
    Unten links KachelX 27752 KachelY + 1 22256 -0.48090298 0.87082565 -27.553711 49.894634
    Unten rechts KachelX + 1 27753 KachelY + 1 22256 -0.48080710 0.87082565 -27.548218 49.894634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87088741-0.87082565) × R
    6.17600000000218e-05 × 6371000     		dl = 393.472960000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87088741-0.87082565) × R
    6.17600000000218e-05 × 6371000     		dr = 393.472960000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48090298--0.48080710) × cos(0.87088741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644148020287708 × 6371000     		do = 393.478771531786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48090298--0.48080710) × cos(0.87082565) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644195259336399 × 6371000     		du = 393.507627574593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87088741)-sin(0.87082565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644148020287708-0.644195259336399)×R²
    abs(-0.48080710--0.48090298)×4.72390486916385e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72390486916385e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72390486916385e-05×40589641000000     		ar = 154828.934017261m²