Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27752 / 22184
↖ ↑ ↗
← N 50.148746°
W 27.553711°		 ← 391.43 m → N 50.148746°
W 27.548218°		 →
↑
391.43 m
↓
↑
391.43 m
↓
N 50.145226°
W 27.553711°		 ← 391.46 m →
153 225 m²		 N 50.145226°
W 27.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423469543457031 y=0.338508605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423469543457031 × 216)
    floor (0.423469543457031 × 65536)
    floor (27752.5)     		tx = 27752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338508605957031 × 216)
    floor (0.338508605957031 × 65536)
    floor (22184.5)     		ty = 22184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27752 / 22184 ti = "16/27752/22184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27752/22184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27752 ÷ 216
    27752 ÷ 65536     		x = 0.4234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22184 ÷ 216
    22184 ÷ 65536     		y = 0.3385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3385009765625 × 2 - 1) × π
    0.322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01472829115735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48090298} λ = -0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01472829115735))-π/2
    2×atan(2.75861375578786)-π/2
    2×1.22302853360777-π/2
    2.44605706721553-1.57079632675     		φ = 0.87526074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87526074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.148746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27752 KachelY 22184 -0.48090298 0.87526074 -27.553711 50.148746
    Oben rechts KachelX + 1 27753 KachelY 22184 -0.48080710 0.87526074 -27.548218 50.148746
    Unten links KachelX 27752 KachelY + 1 22185 -0.48090298 0.87519930 -27.553711 50.145226
    Unten rechts KachelX + 1 27753 KachelY + 1 22185 -0.48080710 0.87519930 -27.548218 50.145226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87526074-0.87519930) × R
    6.14399999999682e-05 × 6371000     		dl = 391.434239999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87526074-0.87519930) × R
    6.14399999999682e-05 × 6371000     		dr = 391.434239999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48090298--0.48080710) × cos(0.87526074) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640796707083623 × 6371000     		do = 391.431616901127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48090298--0.48080710) × cos(0.87519930) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640843874013988 × 6371000     		du = 391.460428890348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87526074)-sin(0.87519930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640796707083623-0.640843874013988)×R²
    abs(-0.48080710--0.48090298)×4.71669303647726e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71669303647726e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71669303647726e-05×40589641000000     		ar = 153225.376521253m²