Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27752 / 21459
↖ ↑ ↗
← N 52.633063°
W 27.553711°		 ← 370.74 m → N 52.633063°
W 27.548218°		 →
↑
370.73 m
↓
↑
370.73 m
↓
N 52.629729°
W 27.553711°		 ← 370.76 m →
137 448 m²		 N 52.629729°
W 27.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423469543457031 y=0.327445983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423469543457031 × 216)
    floor (0.423469543457031 × 65536)
    floor (27752.5)     		tx = 27752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327445983886719 × 216)
    floor (0.327445983886719 × 65536)
    floor (21459.5)     		ty = 21459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27752 / 21459 ti = "16/27752/21459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27752/21459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27752 ÷ 216
    27752 ÷ 65536     		x = 0.4234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21459 ÷ 216
    21459 ÷ 65536     		y = 0.327438354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327438354492188 × 2 - 1) × π
    0.345123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08423679560643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48090298} λ = -0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08423679560643))-π/2
    2×atan(2.95718202295675)-π/2
    2×1.2447082848131-π/2
    2.4894165696262-1.57079632675     		φ = 0.91862024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91862024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.633063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27752 KachelY 21459 -0.48090298 0.91862024 -27.553711 52.633063
    Oben rechts KachelX + 1 27753 KachelY 21459 -0.48080710 0.91862024 -27.548218 52.633063
    Unten links KachelX 27752 KachelY + 1 21460 -0.48090298 0.91856205 -27.553711 52.629729
    Unten rechts KachelX + 1 27753 KachelY + 1 21460 -0.48080710 0.91856205 -27.548218 52.629729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91862024-0.91856205) × R
    5.8189999999958e-05 × 6371000     		dl = 370.728489999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91862024-0.91856205) × R
    5.8189999999958e-05 × 6371000     		dr = 370.728489999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48090298--0.48080710) × cos(0.91862024) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606917318925192 × 6371000     		do = 370.736342503057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48090298--0.48080710) × cos(0.91856205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606963565271618 × 6371000     		du = 370.764592152216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91862024)-sin(0.91856205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606917318925192-0.606963565271618)×R²
    abs(-0.48080710--0.48090298)×4.62463464265817e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62463464265817e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62463464265817e-05×40589641000000     		ar = 137447.76095782m²