Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27752 / 11368
↖ ↑ ↗
← N 48.166086°
E124.892578°		 ← 814.80 m → N 48.166086°
E124.903565°		 →
↑
814.85 m
↓
↑
814.85 m
↓
N 48.158757°
E124.892578°		 ← 814.92 m →
663 989 m²		 N 48.158757°
E124.903565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.846939086914062 y=0.346939086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.846939086914062 × 215)
    floor (0.846939086914062 × 32768)
    floor (27752.5)     		tx = 27752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346939086914062 × 215)
    floor (0.346939086914062 × 32768)
    floor (11368.5)     		ty = 11368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27752 / 11368 ti = "15/27752/11368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27752/11368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27752 ÷ 215
    27752 ÷ 32768     		x = 0.846923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11368 ÷ 215
    11368 ÷ 32768     		y = 0.346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.846923828125 × 2 - 1) × π
    0.69384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.17978670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346923828125 × 2 - 1) × π
    0.30615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961805953976807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.17978670} λ = 2.17978670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961805953976807))-π/2
    2×atan(2.61641733860505)-π/2
    2×1.20572655256758-π/2
    2.41145310513516-1.57079632675     		φ = 0.84065678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.17978670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 124.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84065678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.166086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27752 KachelY 11368 2.17978670 0.84065678 124.892578 48.166086
    Oben rechts KachelX + 1 27753 KachelY 11368 2.17997845 0.84065678 124.903565 48.166086
    Unten links KachelX 27752 KachelY + 1 11369 2.17978670 0.84052888 124.892578 48.158757
    Unten rechts KachelX + 1 27753 KachelY + 1 11369 2.17997845 0.84052888 124.903565 48.158757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84065678-0.84052888) × R
    0.000127899999999959 × 6371000     		dl = 814.850899999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84065678-0.84052888) × R
    0.000127899999999959 × 6371000     		dr = 814.850899999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.17978670-2.17997845) × cos(0.84065678) × R
    0.000191749999999935 × 0.666973615209768 × 6371000     		do = 814.801147054373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.17978670-2.17997845) × cos(0.84052888) × R
    0.000191749999999935 × 0.667068905657013 × 6371000     		du = 814.917557604878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84065678)-sin(0.84052888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666973615209768-0.667068905657013)×R²
    abs(2.17997845-2.17978670)×9.5290447245544e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5290447245544e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5290447245544e-05×40589641000000     		ar = 663988.877524236m²