Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27751 / 21458
↖ ↑ ↗
← N 52.636397°
W 27.559204°		 ← 370.67 m → N 52.636397°
W 27.553711°		 →
↑
370.73 m
↓
↑
370.73 m
↓
N 52.633063°
W 27.559204°		 ← 370.70 m →
137 423 m²		 N 52.633063°
W 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423454284667969 y=0.327430725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423454284667969 × 216)
    floor (0.423454284667969 × 65536)
    floor (27751.5)     		tx = 27751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327430725097656 × 216)
    floor (0.327430725097656 × 65536)
    floor (21458.5)     		ty = 21458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27751 / 21458 ti = "16/27751/21458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27751/21458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27751 ÷ 216
    27751 ÷ 65536     		x = 0.423446655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21458 ÷ 216
    21458 ÷ 65536     		y = 0.327423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423446655273438 × 2 - 1) × π
    -0.153106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48099885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327423095703125 × 2 - 1) × π
    0.34515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08433266940567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48099885} λ = -0.48099885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08433266940567))-π/2
    2×atan(2.95746555282366)-π/2
    2×1.24473737743917-π/2
    2.48947475487834-1.57079632675     		φ = 0.91867843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48099885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.559204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91867843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.636397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27751 KachelY 21458 -0.48099885 0.91867843 -27.559204 52.636397
    Oben rechts KachelX + 1 27752 KachelY 21458 -0.48090298 0.91867843 -27.553711 52.636397
    Unten links KachelX 27751 KachelY + 1 21459 -0.48099885 0.91862024 -27.559204 52.633063
    Unten rechts KachelX + 1 27752 KachelY + 1 21459 -0.48090298 0.91862024 -27.553711 52.633063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91867843-0.91862024) × R
    5.8190000000069e-05 × 6371000     		dl = 370.72849000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91867843-0.91862024) × R
    5.8190000000069e-05 × 6371000     		dr = 370.72849000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48099885--0.48090298) × cos(0.91867843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606871070523697 × 6371000     		do = 370.669427842673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48099885--0.48090298) × cos(0.91862024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606917318925192 × 6371000     		du = 370.697675800688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91867843)-sin(0.91862024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606871070523697-0.606917318925192)×R²
    abs(-0.48090298--0.48099885)×4.62484014949194e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62484014949194e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62484014949194e-05×40589641000000     		ar = 137422.9534735m²