Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27750 / 21411
↖ ↑ ↗
← N 52.792798°
W 27.564697°		 ← 369.34 m → N 52.792798°
W 27.559204°		 →
↑
369.39 m
↓
↑
369.39 m
↓
N 52.789476°
W 27.564697°		 ← 369.37 m →
136 437 m²		 N 52.789476°
W 27.559204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423439025878906 y=0.326713562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423439025878906 × 216)
    floor (0.423439025878906 × 65536)
    floor (27750.5)     		tx = 27750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326713562011719 × 216)
    floor (0.326713562011719 × 65536)
    floor (21411.5)     		ty = 21411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27750 / 21411 ti = "16/27750/21411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27750/21411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27750 ÷ 216
    27750 ÷ 65536     		x = 0.423431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21411 ÷ 216
    21411 ÷ 65536     		y = 0.326705932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.15313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48109472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326705932617188 × 2 - 1) × π
    0.346588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08883873796996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48109472} λ = -0.48109472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08883873796996))-π/2
    2×atan(2.97082216568776)-π/2
    2×1.24610223154987-π/2
    2.49220446309973-1.57079632675     		φ = 0.92140814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48109472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.564697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92140814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.792798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27750 KachelY 21411 -0.48109472 0.92140814 -27.564697 52.792798
    Oben rechts KachelX + 1 27751 KachelY 21411 -0.48099885 0.92140814 -27.559204 52.792798
    Unten links KachelX 27750 KachelY + 1 21412 -0.48109472 0.92135016 -27.564697 52.789476
    Unten rechts KachelX + 1 27751 KachelY + 1 21412 -0.48099885 0.92135016 -27.559204 52.789476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92140814-0.92135016) × R
    5.7980000000013e-05 × 6371000     		dl = 369.390580000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92140814-0.92135016) × R
    5.7980000000013e-05 × 6371000     		dr = 369.390580000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48109472--0.48099885) × cos(0.92140814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604699237920812 × 6371000     		do = 369.342899050344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48109472--0.48099885) × cos(0.92135016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604745415302118 × 6371000     		du = 369.371103630097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92140814)-sin(0.92135016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604699237920812-0.604745415302118)×R²
    abs(-0.48099885--0.48109472)×4.61773813060784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61773813060784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61773813060784e-05×40589641000000     		ar = 136436.996990208m²