Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27749 / 21456
↖ ↑ ↗
← N 52.643064°
W 27.570191°		 ← 370.65 m → N 52.643064°
W 27.564697°		 →
↑
370.66 m
↓
↑
370.66 m
↓
N 52.639730°
W 27.570191°		 ← 370.68 m →
137 393 m²		 N 52.639730°
W 27.564697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423423767089844 y=0.327400207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423423767089844 × 216)
    floor (0.423423767089844 × 65536)
    floor (27749.5)     		tx = 27749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327400207519531 × 216)
    floor (0.327400207519531 × 65536)
    floor (21456.5)     		ty = 21456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27749 / 21456 ti = "16/27749/21456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27749/21456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27749 ÷ 216
    27749 ÷ 65536     		x = 0.423416137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21456 ÷ 216
    21456 ÷ 65536     		y = 0.327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423416137695312 × 2 - 1) × π
    -0.153167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48119060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327392578125 × 2 - 1) × π
    0.34521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08452441700415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48119060} λ = -0.48119060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08452441700415))-π/2
    2×atan(2.95803269411325)-π/2
    2×1.24479555604101-π/2
    2.48959111208203-1.57079632675     		φ = 0.91879479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48119060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.570191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91879479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.643064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27749 KachelY 21456 -0.48119060 0.91879479 -27.570191 52.643064
    Oben rechts KachelX + 1 27750 KachelY 21456 -0.48109472 0.91879479 -27.564697 52.643064
    Unten links KachelX 27749 KachelY + 1 21457 -0.48119060 0.91873661 -27.570191 52.639730
    Unten rechts KachelX + 1 27750 KachelY + 1 21457 -0.48109472 0.91873661 -27.564697 52.639730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91879479-0.91873661) × R
    5.81800000000188e-05 × 6371000     		dl = 370.66478000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91879479-0.91873661) × R
    5.81800000000188e-05 × 6371000     		dr = 370.66478000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48119060--0.48109472) × cos(0.91879479) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.606778583453547 × 6371000     		do = 370.651595735089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48119060--0.48109472) × cos(0.91873661) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.606824828015646 × 6371000     		du = 370.679844294289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91879479)-sin(0.91873661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606778583453547-0.606824828015646)×R²
    abs(-0.48109472--0.48119060)×4.62445620993401e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.62445620993401e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.62445620993401e-05×40589641000000     		ar = 137392.727601821m²