Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27748 / 21396
↖ ↑ ↗
← N 52.842595°
W 27.575683°		 ← 368.92 m → N 52.842595°
W 27.570191°		 →
↑
368.94 m
↓
↑
368.94 m
↓
N 52.839277°
W 27.575683°		 ← 368.95 m →
136 116 m²		 N 52.839277°
W 27.570191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423408508300781 y=0.326484680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423408508300781 × 216)
    floor (0.423408508300781 × 65536)
    floor (27748.5)     		tx = 27748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326484680175781 × 216)
    floor (0.326484680175781 × 65536)
    floor (21396.5)     		ty = 21396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27748 / 21396 ti = "16/27748/21396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27748/21396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27748 ÷ 216
    27748 ÷ 65536     		x = 0.42340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21396 ÷ 216
    21396 ÷ 65536     		y = 0.32647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.1531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48128647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32647705078125 × 2 - 1) × π
    0.3470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09027684495856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48128647} λ = -0.48128647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09027684495856))-π/2
    2×atan(2.97509759933478)-π/2
    2×1.24653679367907-π/2
    2.49307358735814-1.57079632675     		φ = 0.92227726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48128647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.575683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92227726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.842595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27748 KachelY 21396 -0.48128647 0.92227726 -27.575683 52.842595
    Oben rechts KachelX + 1 27749 KachelY 21396 -0.48119060 0.92227726 -27.570191 52.842595
    Unten links KachelX 27748 KachelY + 1 21397 -0.48128647 0.92221935 -27.575683 52.839277
    Unten rechts KachelX + 1 27749 KachelY + 1 21397 -0.48119060 0.92221935 -27.570191 52.839277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92227726-0.92221935) × R
    5.79099999999944e-05 × 6371000     		dl = 368.944609999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92227726-0.92221935) × R
    5.79099999999944e-05 × 6371000     		dr = 368.944609999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48128647--0.48119060) × cos(0.92227726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604006795599517 × 6371000     		do = 368.919963749067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48128647--0.48119060) × cos(0.92221935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6040529476502 × 6371000     		du = 368.948152857184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92227726)-sin(0.92221935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604006795599517-0.6040529476502)×R²
    abs(-0.48119060--0.48128647)×4.61520506822577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61520506822577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61520506822577e-05×40589641000000     		ar = 136116.232294597m²