Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27746 / 21457
↖ ↑ ↗
← N 52.639730°
W 27.586670°		 ← 370.64 m → N 52.639730°
W 27.581177°		 →
↑
370.66 m
↓
↑
370.66 m
↓
N 52.636397°
W 27.586670°		 ← 370.67 m →
137 389 m²		 N 52.636397°
W 27.581177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423377990722656 y=0.327415466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423377990722656 × 216)
    floor (0.423377990722656 × 65536)
    floor (27746.5)     		tx = 27746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327415466308594 × 216)
    floor (0.327415466308594 × 65536)
    floor (21457.5)     		ty = 21457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27746 / 21457 ti = "16/27746/21457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27746/21457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27746 ÷ 216
    27746 ÷ 65536     		x = 0.423370361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21457 ÷ 216
    21457 ÷ 65536     		y = 0.327407836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423370361328125 × 2 - 1) × π
    -0.15325927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48147822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327407836914062 × 2 - 1) × π
    0.345184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08442854320491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48147822} λ = -0.48147822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08442854320491))-π/2
    2×atan(2.95774910987496)-π/2
    2×1.24476646784845-π/2
    2.4895329356969-1.57079632675     		φ = 0.91873661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48147822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.586670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91873661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.639730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27746 KachelY 21457 -0.48147822 0.91873661 -27.586670 52.639730
    Oben rechts KachelX + 1 27747 KachelY 21457 -0.48138235 0.91873661 -27.581177 52.639730
    Unten links KachelX 27746 KachelY + 1 21458 -0.48147822 0.91867843 -27.586670 52.636397
    Unten rechts KachelX + 1 27747 KachelY + 1 21458 -0.48138235 0.91867843 -27.581177 52.636397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91873661-0.91867843) × R
    5.81799999999077e-05 × 6371000     		dl = 370.664779999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91873661-0.91867843) × R
    5.81799999999077e-05 × 6371000     		dr = 370.664779999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48147822--0.48138235) × cos(0.91873661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606824828015646 × 6371000     		do = 370.641183484302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48147822--0.48138235) × cos(0.91867843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606871070523697 × 6371000     		du = 370.669427842673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91873661)-sin(0.91867843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606824828015646-0.606871070523697)×R²
    abs(-0.48138235--0.48147822)×4.62425080504092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62425080504092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62425080504092e-05×40589641000000     		ar = 137388.867368161m²