Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27745 / 22175
↖ ↑ ↗
← N 50.180416°
W 27.592163°		 ← 391.13 m → N 50.180416°
W 27.586670°		 →
↑
391.18 m
↓
↑
391.18 m
↓
N 50.176898°
W 27.592163°		 ← 391.16 m →
153 008 m²		 N 50.176898°
W 27.586670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423362731933594 y=0.338371276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423362731933594 × 216)
    floor (0.423362731933594 × 65536)
    floor (27745.5)     		tx = 27745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338371276855469 × 216)
    floor (0.338371276855469 × 65536)
    floor (22175.5)     		ty = 22175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27745 / 22175 ti = "16/27745/22175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27745/22175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27745 ÷ 216
    27745 ÷ 65536     		x = 0.423355102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22175 ÷ 216
    22175 ÷ 65536     		y = 0.338363647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423355102539062 × 2 - 1) × π
    -0.153289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48157409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338363647460938 × 2 - 1) × π
    0.323272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01559115535051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48157409} λ = -0.48157409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01559115535051))-π/2
    2×atan(2.76099509205764)-π/2
    2×1.2233049023128-π/2
    2.4466098046256-1.57079632675     		φ = 0.87581348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48157409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.592163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87581348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.180416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27745 KachelY 22175 -0.48157409 0.87581348 -27.592163 50.180416
    Oben rechts KachelX + 1 27746 KachelY 22175 -0.48147822 0.87581348 -27.586670 50.180416
    Unten links KachelX 27745 KachelY + 1 22176 -0.48157409 0.87575208 -27.592163 50.176898
    Unten rechts KachelX + 1 27746 KachelY + 1 22176 -0.48147822 0.87575208 -27.586670 50.176898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87581348-0.87575208) × R
    6.13999999999892e-05 × 6371000     		dl = 391.179399999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87581348-0.87575208) × R
    6.13999999999892e-05 × 6371000     		dr = 391.179399999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48157409--0.48147822) × cos(0.87581348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640372264854259 × 6371000     		do = 391.131547620174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48157409--0.48147822) × cos(0.87575208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640419422818882 × 6371000     		du = 391.160351128224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87581348)-sin(0.87575208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640372264854259-0.640419422818882)×R²
    abs(-0.48147822--0.48157409)×4.71579646228459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71579646228459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71579646228459e-05×40589641000000     		ar = 153008.237836618m²