Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27741 / 7351
↖ ↑ ↗
← N 80.005752°
W 27.614136°		 ← 106.01 m → N 80.005752°
W 27.608642°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
N 80.004798°
W 27.614136°		 ← 106.02 m →
11 239 m²		 N 80.004798°
W 27.608642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423301696777344 y=0.112174987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423301696777344 × 216)
    floor (0.423301696777344 × 65536)
    floor (27741.5)     		tx = 27741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112174987792969 × 216)
    floor (0.112174987792969 × 65536)
    floor (7351.5)     		ty = 7351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27741 / 7351 ti = "16/27741/7351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27741/7351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27741 ÷ 216
    27741 ÷ 65536     		x = 0.423294067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7351 ÷ 216
    7351 ÷ 65536     		y = 0.112167358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423294067382812 × 2 - 1) × π
    -0.153411865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48195759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112167358398438 × 2 - 1) × π
    0.775665283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43682435528593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48195759} λ = -0.48195759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43682435528593))-π/2
    2×atan(11.436664231614)-π/2
    2×1.48358006040686-π/2
    2.96716012081372-1.57079632675     		φ = 1.39636379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48195759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.614136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39636379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.005752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27741 KachelY 7351 -0.48195759 1.39636379 -27.614136 80.005752
    Oben rechts KachelX + 1 27742 KachelY 7351 -0.48186171 1.39636379 -27.608642 80.005752
    Unten links KachelX 27741 KachelY + 1 7352 -0.48195759 1.39634715 -27.614136 80.004798
    Unten rechts KachelX + 1 27742 KachelY + 1 7352 -0.48186171 1.39634715 -27.608642 80.004798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39636379-1.39634715) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dl = 106.013440000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39636379-1.39634715) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dr = 106.013440000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48195759--0.48186171) × cos(1.39636379) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.173549313512998 × 6371000     		do = 106.012855012391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48195759--0.48186171) × cos(1.39634715) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.173565700979971 × 6371000     		du = 106.022865320844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39636379)-sin(1.39634715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173549313512998-0.173565700979971)×R²
    abs(-0.48186171--0.48195759)×1.63874669727726e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.63874669727726e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.63874669727726e-05×40589641000000     		ar = 11239.3180582396m²