Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2774 / 5987
↖ ↑ ↗
← S 63.607217°
W 58.095703°		 ← 2 172.16 m → S 63.607217°
W 58.051758°		 →
↑
2 171.43 m
↓
↑
2 171.43 m
↓
S 63.626745°
W 58.095703°		 ← 2 170.66 m →
4 715 059 m²		 S 63.626745°
W 58.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33868408203125 y=0.73089599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33868408203125 × 213)
    floor (0.33868408203125 × 8192)
    floor (2774.5)     		tx = 2774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73089599609375 × 213)
    floor (0.73089599609375 × 8192)
    floor (5987.5)     		ty = 5987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2774 / 5987 ti = "13/2774/5987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2774/5987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2774 ÷ 213
    2774 ÷ 8192     		x = 0.338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5987 ÷ 213
    5987 ÷ 8192     		y = 0.7308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.32275390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01396130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45037883490442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01396130} λ = -1.01396130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45037883490442))-π/2
    2×atan(0.234481441511284)-π/2
    2×0.230320483856047-π/2
    0.460640967712095-1.57079632675     		φ = -1.11015536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01396130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11015536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.607217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2774 KachelY 5987 -1.01396130 -1.11015536 -58.095703 -63.607217
    Oben rechts KachelX + 1 2775 KachelY 5987 -1.01319431 -1.11015536 -58.051758 -63.607217
    Unten links KachelX 2774 KachelY + 1 5988 -1.01396130 -1.11049619 -58.095703 -63.626745
    Unten rechts KachelX + 1 2775 KachelY + 1 5988 -1.01319431 -1.11049619 -58.051758 -63.626745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11015536--1.11049619) × R
    0.00034083000000007 × 6371000     		dl = 2171.42793000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11015536--1.11049619) × R
    0.00034083000000007 × 6371000     		dr = 2171.42793000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01396130--1.01319431) × cos(-1.11015536) × R
    0.000766990000000023 × 0.444522355628122 × 6371000     		do = 2172.15550803188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01396130--1.01319431) × cos(-1.11049619) × R
    0.000766990000000023 × 0.444217025290261 × 6371000     		du = 2170.66351338468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11015536)-sin(-1.11049619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444522355628122-0.444217025290261)×R²
    abs(-1.01319431--1.01396130)×0.000305330337861398×R²
    0.000766990000000023×0.000305330337861398×6371000²
    0.000766990000000023×0.000305330337861398×40589641000000     		ar = 4715059.30466553m²