Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27739 / 21445
↖ ↑ ↗
← N 52.679712°
W 27.625122°		 ← 370.34 m → N 52.679712°
W 27.619629°		 →
↑
370.28 m
↓
↑
370.28 m
↓
N 52.676382°
W 27.625122°		 ← 370.37 m →
137 136 m²		 N 52.676382°
W 27.619629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423271179199219 y=0.327232360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423271179199219 × 216)
    floor (0.423271179199219 × 65536)
    floor (27739.5)     		tx = 27739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327232360839844 × 216)
    floor (0.327232360839844 × 65536)
    floor (21445.5)     		ty = 21445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27739 / 21445 ti = "16/27739/21445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27739/21445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27739 ÷ 216
    27739 ÷ 65536     		x = 0.423263549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21445 ÷ 216
    21445 ÷ 65536     		y = 0.327224731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423263549804688 × 2 - 1) × π
    -0.153472900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48214934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327224731445312 × 2 - 1) × π
    0.345550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08557902879579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48214934} λ = -0.48214934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08557902879579))-π/2
    2×atan(2.96115391582185)-π/2
    2×1.24511537987595-π/2
    2.4902307597519-1.57079632675     		φ = 0.91943443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48214934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.625122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91943443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.679712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27739 KachelY 21445 -0.48214934 0.91943443 -27.625122 52.679712
    Oben rechts KachelX + 1 27740 KachelY 21445 -0.48205346 0.91943443 -27.619629 52.679712
    Unten links KachelX 27739 KachelY + 1 21446 -0.48214934 0.91937631 -27.625122 52.676382
    Unten rechts KachelX + 1 27740 KachelY + 1 21446 -0.48205346 0.91937631 -27.619629 52.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91943443-0.91937631) × R
    5.81200000000504e-05 × 6371000     		dl = 370.282520000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91943443-0.91937631) × R
    5.81200000000504e-05 × 6371000     		dr = 370.282520000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48214934--0.48205346) × cos(0.91943443) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606270028136048 × 6371000     		do = 370.340943966518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48214934--0.48205346) × cos(0.91937631) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606316247556943 × 6371000     		du = 370.369177168177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91943443)-sin(0.91937631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606270028136048-0.606316247556943)×R²
    abs(-0.48205346--0.48214934)×4.62194208948885e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62194208948885e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62194208948885e-05×40589641000000     		ar = 137136.005160462m²