Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27736 / 7256
↖ ↑ ↗
← N 80.095914°
W 27.641602°		 ← 105.07 m → N 80.095914°
W 27.636108°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
N 80.094969°
W 27.641602°		 ← 105.08 m →
11 039 m²		 N 80.094969°
W 27.636108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423225402832031 y=0.110725402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423225402832031 × 216)
    floor (0.423225402832031 × 65536)
    floor (27736.5)     		tx = 27736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110725402832031 × 216)
    floor (0.110725402832031 × 65536)
    floor (7256.5)     		ty = 7256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27736 / 7256 ti = "16/27736/7256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27736/7256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27736 ÷ 216
    27736 ÷ 65536     		x = 0.4232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7256 ÷ 216
    7256 ÷ 65536     		y = 0.1107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48243696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1107177734375 × 2 - 1) × π
    0.778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44593236621375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48243696} λ = -0.48243696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44593236621375))-π/2
    2×atan(11.541305307061)-π/2
    2×1.48436687054434-π/2
    2.96873374108867-1.57079632675     		φ = 1.39793741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48243696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.641602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39793741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.095914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27736 KachelY 7256 -0.48243696 1.39793741 -27.641602 80.095914
    Oben rechts KachelX + 1 27737 KachelY 7256 -0.48234108 1.39793741 -27.636108 80.095914
    Unten links KachelX 27736 KachelY + 1 7257 -0.48243696 1.39792092 -27.641602 80.094969
    Unten rechts KachelX + 1 27737 KachelY + 1 7257 -0.48234108 1.39792092 -27.636108 80.094969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39793741-1.39792092) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39793741-1.39792092) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48243696--0.48234108) × cos(1.39793741) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.171999358674057 × 6371000     		do = 105.066062805152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48243696--0.48234108) × cos(1.39792092) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.172015602901216 × 6371000     		du = 105.075985615353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39793741)-sin(1.39792092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171999358674057-0.172015602901216)×R²
    abs(-0.48234108--0.48243696)×1.62442271585961e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.62442271585961e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.62442271585961e-05×40589641000000     		ar = 11038.5295965583m²