Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27735 / 21447
↖ ↑ ↗
← N 52.673051°
W 27.647095°		 ← 370.36 m → N 52.673051°
W 27.641602°		 →
↑
370.35 m
↓
↑
370.35 m
↓
N 52.669721°
W 27.647095°		 ← 370.39 m →
137 166 m²		 N 52.669721°
W 27.641602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423210144042969 y=0.327262878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423210144042969 × 216)
    floor (0.423210144042969 × 65536)
    floor (27735.5)     		tx = 27735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327262878417969 × 216)
    floor (0.327262878417969 × 65536)
    floor (21447.5)     		ty = 21447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27735 / 21447 ti = "16/27735/21447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27735/21447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27735 ÷ 216
    27735 ÷ 65536     		x = 0.423202514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21447 ÷ 216
    21447 ÷ 65536     		y = 0.327255249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423202514648438 × 2 - 1) × π
    -0.153594970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48253283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327255249023438 × 2 - 1) × π
    0.345489501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08538728119731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48253283} λ = -0.48253283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08538728119731))-π/2
    2×atan(2.96058617610286)-π/2
    2×1.24505725003338-π/2
    2.49011450006676-1.57079632675     		φ = 0.91931817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48253283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.647095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91931817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.673051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27735 KachelY 21447 -0.48253283 0.91931817 -27.647095 52.673051
    Oben rechts KachelX + 1 27736 KachelY 21447 -0.48243696 0.91931817 -27.641602 52.673051
    Unten links KachelX 27735 KachelY + 1 21448 -0.48253283 0.91926004 -27.647095 52.669721
    Unten rechts KachelX + 1 27736 KachelY + 1 21448 -0.48243696 0.91926004 -27.641602 52.669721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91931817-0.91926004) × R
    5.81300000001006e-05 × 6371000     		dl = 370.346230000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91931817-0.91926004) × R
    5.81300000001006e-05 × 6371000     		dr = 370.346230000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48253283--0.48243696) × cos(0.91931817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606362480833509 × 6371000     		do = 370.358787479959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48253283--0.48243696) × cos(0.91926004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606408704108881 × 6371000     		du = 370.387020091245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91931817)-sin(0.91926004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606362480833509-0.606408704108881)×R²
    abs(-0.48243696--0.48253283)×4.62232753722924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62232753722924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62232753722924e-05×40589641000000     		ar = 137166.208649728m²