Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27731 / 7313
↖ ↑ ↗
← N 80.041914°
W 27.669068°		 ← 105.63 m → N 80.041914°
W 27.663574°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
N 80.040964°
W 27.669068°		 ← 105.64 m →
11 159 m²		 N 80.040964°
W 27.663574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423149108886719 y=0.111595153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423149108886719 × 216)
    floor (0.423149108886719 × 65536)
    floor (27731.5)     		tx = 27731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111595153808594 × 216)
    floor (0.111595153808594 × 65536)
    floor (7313.5)     		ty = 7313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27731 / 7313 ti = "16/27731/7313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27731/7313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27731 ÷ 216
    27731 ÷ 65536     		x = 0.423141479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7313 ÷ 216
    7313 ÷ 65536     		y = 0.111587524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423141479492188 × 2 - 1) × π
    -0.153717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48291633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111587524414062 × 2 - 1) × π
    0.776824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44046755965706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48291633} λ = -0.48291633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44046755965706))-π/2
    2×atan(11.4784063280578)-π/2
    2×1.48389563172668-π/2
    2.96779126345336-1.57079632675     		φ = 1.39699494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48291633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.669068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39699494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.041914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27731 KachelY 7313 -0.48291633 1.39699494 -27.669068 80.041914
    Oben rechts KachelX + 1 27732 KachelY 7313 -0.48282045 1.39699494 -27.663574 80.041914
    Unten links KachelX 27731 KachelY + 1 7314 -0.48291633 1.39697836 -27.669068 80.040964
    Unten rechts KachelX + 1 27732 KachelY + 1 7314 -0.48282045 1.39697836 -27.663574 80.040964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39699494-1.39697836) × R
    1.65799999998217e-05 × 6371000     		dl = 105.631179998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39699494-1.39697836) × R
    1.65799999998217e-05 × 6371000     		dr = 105.631179998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48291633--0.48282045) × cos(1.39699494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.172927706574999 × 6371000     		do = 105.633145494336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48291633--0.48282045) × cos(1.39697836) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.172944036765568 × 6371000     		du = 105.643120815413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39699494)-sin(1.39697836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172927706574999-0.172944036765568)×R²
    abs(-0.48282045--0.48291633)×1.63301905687918e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.63301905687918e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.63301905687918e-05×40589641000000     		ar = 11158.6806584091m²