Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27731 / 21550
↖ ↑ ↗
← N 76.154794°
W103.834534°		 ← 73.09 m → N 76.154794°
W103.831787°		 →
↑
73.08 m
↓
↑
73.08 m
↓
N 76.154137°
W103.834534°		 ← 73.09 m →
5 341 m²		 N 76.154137°
W103.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211574554443359 y=0.164417266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211574554443359 × 217)
    floor (0.211574554443359 × 131072)
    floor (27731.5)     		tx = 27731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164417266845703 × 217)
    floor (0.164417266845703 × 131072)
    floor (21550.5)     		ty = 21550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27731 / 21550 ti = "17/27731/21550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27731/21550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27731 ÷ 217
    27731 ÷ 131072     		x = 0.211570739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21550 ÷ 217
    21550 ÷ 131072     		y = 0.164413452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211570739746094 × 2 - 1) × π
    -0.576858520507812 × 3.1415926535     		Λ = -1.81225449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164413452148438 × 2 - 1) × π
    0.671173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10855246668779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81225449} λ = -1.81225449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10855246668779))-π/2
    2×atan(8.2363103179192)-π/2
    2×1.44997411188794-π/2
    2.89994822377587-1.57079632675     		φ = 1.32915190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81225449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.834534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32915190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.154794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27731 KachelY 21550 -1.81225449 1.32915190 -103.834534 76.154794
    Oben rechts KachelX + 1 27732 KachelY 21550 -1.81220655 1.32915190 -103.831787 76.154794
    Unten links KachelX 27731 KachelY + 1 21551 -1.81225449 1.32914043 -103.834534 76.154137
    Unten rechts KachelX + 1 27732 KachelY + 1 21551 -1.81220655 1.32914043 -103.831787 76.154137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32915190-1.32914043) × R
    1.14700000000134e-05 × 6371000     		dl = 73.0753700000855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32915190-1.32914043) × R
    1.14700000000134e-05 × 6371000     		dr = 73.0753700000855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81225449--1.81220655) × cos(1.32915190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239299598509541 × 6371000     		do = 73.0882569564316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81225449--1.81220655) × cos(1.32914043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239310735241864 × 6371000     		du = 73.0916584011423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32915190)-sin(1.32914043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239299598509541-0.239310735241864)×R²
    abs(-1.81220655--1.81225449)×1.11367323223643e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11367323223643e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11367323223643e-05×40589641000000     		ar = 5341.07570068967m²