Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2773 / 5986
↖ ↑ ↗
← S 63.587675°
W 58.139648°		 ← 2 173.65 m → S 63.587675°
W 58.095703°		 →
↑
2 172.89 m
↓
↑
2 172.89 m
↓
S 63.607217°
W 58.139648°		 ← 2 172.16 m →
4 721 484 m²		 S 63.607217°
W 58.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33856201171875 y=0.73077392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33856201171875 × 213)
    floor (0.33856201171875 × 8192)
    floor (2773.5)     		tx = 2773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73077392578125 × 213)
    floor (0.73077392578125 × 8192)
    floor (5986.5)     		ty = 5986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2773 / 5986 ti = "13/2773/5986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2773/5986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2773 ÷ 213
    2773 ÷ 8192     		x = 0.3385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5986 ÷ 213
    5986 ÷ 8192     		y = 0.730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01472829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.46142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4496118445105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01472829} λ = -1.01472829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4496118445105))-π/2
    2×atan(0.234661355511811)-π/2
    2×0.23049101461585-π/2
    0.460982029231701-1.57079632675     		φ = -1.10981430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01472829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.139648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10981430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.587675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2773 KachelY 5986 -1.01472829 -1.10981430 -58.139648 -63.587675
    Oben rechts KachelX + 1 2774 KachelY 5986 -1.01396130 -1.10981430 -58.095703 -63.587675
    Unten links KachelX 2773 KachelY + 1 5987 -1.01472829 -1.11015536 -58.139648 -63.607217
    Unten rechts KachelX + 1 2774 KachelY + 1 5987 -1.01396130 -1.11015536 -58.095703 -63.607217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10981430--1.11015536) × R
    0.000341060000000004 × 6371000     		dl = 2172.89326000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10981430--1.11015536) × R
    0.000341060000000004 × 6371000     		dr = 2172.89326000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01472829--1.01396130) × cos(-1.10981430) × R
    0.000766990000000023 × 0.444827840319719 × 6371000     		do = 2173.64825692756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01472829--1.01396130) × cos(-1.11015536) × R
    0.000766990000000023 × 0.444522355628122 × 6371000     		du = 2172.15550803188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10981430)-sin(-1.11015536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444827840319719-0.444522355628122)×R²
    abs(-1.01396130--1.01472829)×0.000305484691596858×R²
    0.000766990000000023×0.000305484691596858×6371000²
    0.000766990000000023×0.000305484691596858×40589641000000     		ar = 4721483.90084879m²