Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27728 / 8949
↖ ↑ ↗
← N 78.361606°
W 27.685547°		 ← 123.23 m → N 78.361606°
W 27.680053°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
N 78.360498°
W 27.685547°		 ← 123.24 m →
15 184 m²		 N 78.360498°
W 27.680053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423103332519531 y=0.136558532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423103332519531 × 216)
    floor (0.423103332519531 × 65536)
    floor (27728.5)     		tx = 27728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136558532714844 × 216)
    floor (0.136558532714844 × 65536)
    floor (8949.5)     		ty = 8949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27728 / 8949 ti = "16/27728/8949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27728/8949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27728 ÷ 216
    27728 ÷ 65536     		x = 0.423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8949 ÷ 216
    8949 ÷ 65536     		y = 0.136550903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.15380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48320395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136550903320312 × 2 - 1) × π
    0.726898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28361802410023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48320395} λ = -0.48320395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28361802410023))-π/2
    2×atan(9.81211674096604)-π/2
    2×1.46923218579275-π/2
    2.93846437158551-1.57079632675     		φ = 1.36766804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48320395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36766804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.361606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27728 KachelY 8949 -0.48320395 1.36766804 -27.685547 78.361606
    Oben rechts KachelX + 1 27729 KachelY 8949 -0.48310807 1.36766804 -27.680053 78.361606
    Unten links KachelX 27728 KachelY + 1 8950 -0.48320395 1.36764870 -27.685547 78.360498
    Unten rechts KachelX + 1 27729 KachelY + 1 8950 -0.48310807 1.36764870 -27.680053 78.360498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36766804-1.36764870) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dl = 123.215140000926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36766804-1.36764870) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dr = 123.215140000926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48320395--0.48310807) × cos(1.36766804) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.201734283022071 × 6371000     		do = 123.229685350761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48320395--0.48310807) × cos(1.36764870) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.201753225359524 × 6371000     		du = 123.24125630563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36766804)-sin(1.36764870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201734283022071-0.201753225359524)×R²
    abs(-0.48310807--0.48320395)×1.89423374537812e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.89423374537812e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.89423374537812e-05×40589641000000     		ar = 15184.4757915206m²