Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2771 / 1744
↖ ↑ ↗
← N 80.356996°
W119.113769°		 ← 409.26 m → N 80.356996°
W119.091797°		 →
↑
409.34 m
↓
↑
409.34 m
↓
N 80.353314°
W119.113769°		 ← 409.41 m →
167 557 m²		 N 80.353314°
W119.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169158935546875 y=0.106475830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169158935546875 × 214)
    floor (0.169158935546875 × 16384)
    floor (2771.5)     		tx = 2771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106475830078125 × 214)
    floor (0.106475830078125 × 16384)
    floor (1744.5)     		ty = 1744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2771 / 1744 ti = "14/2771/1744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2771/1744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2771 ÷ 214
    2771 ÷ 16384     		x = 0.16912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1744 ÷ 214
    1744 ÷ 16384     		y = 0.1064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.6617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.07892746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    0.787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47277703000098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07892746} λ = -2.07892746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47277703000098))-π/2
    2×atan(11.8553237702043)-π/2
    2×1.48664523690651-π/2
    2.97329047381303-1.57079632675     		φ = 1.40249415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07892746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.113769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40249415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.356996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2771 KachelY 1744 -2.07892746 1.40249415 -119.113769 80.356996
    Oben rechts KachelX + 1 2772 KachelY 1744 -2.07854397 1.40249415 -119.091797 80.356996
    Unten links KachelX 2771 KachelY + 1 1745 -2.07892746 1.40242990 -119.113769 80.353314
    Unten rechts KachelX + 1 2772 KachelY + 1 1745 -2.07854397 1.40242990 -119.091797 80.353314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40249415-1.40242990) × R
    6.4250000000099e-05 × 6371000     		dl = 409.33675000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40249415-1.40242990) × R
    6.4250000000099e-05 × 6371000     		dr = 409.33675000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07892746--2.07854397) × cos(1.40249415) × R
    0.000383489999999931 × 0.167508757340305 × 6371000     		do = 409.259873388281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07892746--2.07854397) × cos(1.40242990) × R
    0.000383489999999931 × 0.167572099179795 × 6371000     		du = 409.414631107348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40249415)-sin(1.40242990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167508757340305-0.167572099179795)×R²
    abs(-2.07854397--2.07892746)×6.33418394899443e-05×R²
    0.000383489999999931×6.33418394899443e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.33418394899443e-05×40589641000000     		ar = 167556.780545791m²