Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27705 / 17433
↖ ↑ ↗
← N 78.616461°
W103.905945°		 ← 60.28 m → N 78.616461°
W103.903198°		 →
↑
60.27 m
↓
↑
60.27 m
↓
N 78.615919°
W103.905945°		 ← 60.29 m →
3 633 m²		 N 78.615919°
W103.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211376190185547 y=0.133007049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211376190185547 × 217)
    floor (0.211376190185547 × 131072)
    floor (27705.5)     		tx = 27705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133007049560547 × 217)
    floor (0.133007049560547 × 131072)
    floor (17433.5)     		ty = 17433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27705 / 17433 ti = "17/27705/17433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27705/17433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27705 ÷ 217
    27705 ÷ 131072     		x = 0.211372375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17433 ÷ 217
    17433 ÷ 131072     		y = 0.133003234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211372375488281 × 2 - 1) × π
    -0.577255249023438 × 3.1415926535     		Λ = -1.81350085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133003234863281 × 2 - 1) × π
    0.733993530273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.30590868242356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81350085} λ = -1.81350085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30590868242356))-π/2
    2×atan(10.0332911867682)-π/2
    2×1.47145620710672-π/2
    2.94291241421344-1.57079632675     		φ = 1.37211609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81350085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.905945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37211609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.616461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27705 KachelY 17433 -1.81350085 1.37211609 -103.905945 78.616461
    Oben rechts KachelX + 1 27706 KachelY 17433 -1.81345291 1.37211609 -103.903198 78.616461
    Unten links KachelX 27705 KachelY + 1 17434 -1.81350085 1.37210663 -103.905945 78.615919
    Unten rechts KachelX + 1 27706 KachelY + 1 17434 -1.81345291 1.37210663 -103.903198 78.615919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37211609-1.37210663) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dl = 60.2696600001062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37211609-1.37210663) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dr = 60.2696600001062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81350085--1.81345291) × cos(1.37211609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197375702343956 × 6371000     		do = 60.283619946383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81350085--1.81345291) × cos(1.37210663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197384976237254 × 6371000     		du = 60.2864524321062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37211609)-sin(1.37210663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197375702343956-0.197384976237254)×R²
    abs(-1.81345291--1.81350085)×9.27389329805073e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.27389329805073e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.27389329805073e-06×40589641000000     		ar = 3633.35863414632m²