Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27704 / 17432
↖ ↑ ↗
← N 78.617003°
W103.908692°		 ← 60.28 m → N 78.617003°
W103.905945°		 →
↑
60.27 m
↓
↑
60.27 m
↓
N 78.616461°
W103.908692°		 ← 60.28 m →
3 633 m²		 N 78.616461°
W103.905945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211368560791016 y=0.132999420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211368560791016 × 217)
    floor (0.211368560791016 × 131072)
    floor (27704.5)     		tx = 27704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132999420166016 × 217)
    floor (0.132999420166016 × 131072)
    floor (17432.5)     		ty = 17432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27704 / 17432 ti = "17/27704/17432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27704/17432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27704 ÷ 217
    27704 ÷ 131072     		x = 0.21136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17432 ÷ 217
    17432 ÷ 131072     		y = 0.13299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.5772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81354879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13299560546875 × 2 - 1) × π
    0.7340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30595661932318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81354879} λ = -1.81354879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30595661932318))-π/2
    2×atan(10.0337721631688)-π/2
    2×1.47146093778524-π/2
    2.94292187557047-1.57079632675     		φ = 1.37212555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81354879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.908692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37212555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.617003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27704 KachelY 17432 -1.81354879 1.37212555 -103.908692 78.617003
    Oben rechts KachelX + 1 27705 KachelY 17432 -1.81350085 1.37212555 -103.905945 78.617003
    Unten links KachelX 27704 KachelY + 1 17433 -1.81354879 1.37211609 -103.908692 78.616461
    Unten rechts KachelX + 1 27705 KachelY + 1 17433 -1.81350085 1.37211609 -103.905945 78.616461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37212555-1.37211609) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dl = 60.2696600001062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37212555-1.37211609) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dr = 60.2696600001062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81354879--1.81350085) × cos(1.37212555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197366428432994 × 6371000     		do = 60.2807874552648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81354879--1.81350085) × cos(1.37211609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197375702343956 × 6371000     		du = 60.283619946383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37212555)-sin(1.37211609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197366428432994-0.197375702343956)×R²
    abs(-1.81350085--1.81354879)×9.27391096153252e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.27391096153252e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.27391096153252e-06×40589641000000     		ar = 3633.18792116748m²