Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27702 / 9230
↖ ↑ ↗
← N 78.046071°
W 27.828369°		 ← 126.52 m → N 78.046071°
W 27.822876°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
N 78.044933°
W 27.828369°		 ← 126.53 m →
16 001 m²		 N 78.044933°
W 27.822876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422706604003906 y=0.140846252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422706604003906 × 216)
    floor (0.422706604003906 × 65536)
    floor (27702.5)     		tx = 27702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140846252441406 × 216)
    floor (0.140846252441406 × 65536)
    floor (9230.5)     		ty = 9230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27702 / 9230 ti = "16/27702/9230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27702/9230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27702 ÷ 216
    27702 ÷ 65536     		x = 0.422698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9230 ÷ 216
    9230 ÷ 65536     		y = 0.140838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.15460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48569667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140838623046875 × 2 - 1) × π
    0.71832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25667748651376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48569667} λ = -0.48569667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25667748651376))-π/2
    2×atan(9.55130205955593)-π/2
    2×1.46647861550328-π/2
    2.93295723100656-1.57079632675     		φ = 1.36216090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48569667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.828369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36216090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.046071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27702 KachelY 9230 -0.48569667 1.36216090 -27.828369 78.046071
    Oben rechts KachelX + 1 27703 KachelY 9230 -0.48560079 1.36216090 -27.822876 78.046071
    Unten links KachelX 27702 KachelY + 1 9231 -0.48569667 1.36214105 -27.828369 78.044933
    Unten rechts KachelX + 1 27703 KachelY + 1 9231 -0.48560079 1.36214105 -27.822876 78.044933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36216090-1.36214105) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dl = 126.464349999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36216090-1.36214105) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dr = 126.464349999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48569667--0.48560079) × cos(1.36216090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.207125111397893 × 6371000     		do = 126.522680842558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48569667--0.48560079) × cos(1.36214105) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.207144530899173 × 6371000     		du = 126.534543273656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36216090)-sin(1.36214105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207125111397893-0.207144530899173)×R²
    abs(-0.48560079--0.48569667)×1.94195012803156e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.94195012803156e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.94195012803156e-05×40589641000000     		ar = 16001.3586809366m²