Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27700 / 7270
↖ ↑ ↗
← N 80.082678°
W 27.839355°		 ← 105.19 m → N 80.082678°
W 27.833862°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
N 80.081732°
W 27.839355°		 ← 105.20 m →
11 065 m²		 N 80.081732°
W 27.833862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422676086425781 y=0.110939025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422676086425781 × 216)
    floor (0.422676086425781 × 65536)
    floor (27700.5)     		tx = 27700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110939025878906 × 216)
    floor (0.110939025878906 × 65536)
    floor (7270.5)     		ty = 7270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27700 / 7270 ti = "16/27700/7270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27700/7270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27700 ÷ 216
    27700 ÷ 65536     		x = 0.42266845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7270 ÷ 216
    7270 ÷ 65536     		y = 0.110931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42266845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1546630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48588841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110931396484375 × 2 - 1) × π
    0.77813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44459013302438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48588841} λ = -0.48588841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44459013302438))-π/2
    2×atan(11.5258245757292)-π/2
    2×1.4842513625771-π/2
    2.9685027251542-1.57079632675     		φ = 1.39770640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48588841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.839355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39770640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.082678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27700 KachelY 7270 -0.48588841 1.39770640 -27.839355 80.082678
    Oben rechts KachelX + 1 27701 KachelY 7270 -0.48579254 1.39770640 -27.833862 80.082678
    Unten links KachelX 27700 KachelY + 1 7271 -0.48588841 1.39768989 -27.839355 80.081732
    Unten rechts KachelX + 1 27701 KachelY + 1 7271 -0.48579254 1.39768989 -27.833862 80.081732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39770640-1.39768989) × R
    1.65099999998031e-05 × 6371000     		dl = 105.185209998745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39770640-1.39768989) × R
    1.65099999998031e-05 × 6371000     		dr = 105.185209998745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48588841--0.48579254) × cos(1.39770640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172226921354789 × 6371000     		do = 105.194097228255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48588841--0.48579254) × cos(1.39768989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172243184627366 × 6371000     		du = 105.204030636245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39770640)-sin(1.39768989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172226921354789-0.172243184627366)×R²
    abs(-0.48579254--0.48588841)×1.62632725766998e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62632725766998e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62632725766998e-05×40589641000000     		ar = 11065.3856315412m²