Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27700 / 21668
↖ ↑ ↗
← N 76.077024°
W103.919678°		 ← 73.48 m → N 76.077024°
W103.916931°		 →
↑
73.46 m
↓
↑
73.46 m
↓
N 76.076364°
W103.919678°		 ← 73.48 m →
5 397 m²		 N 76.076364°
W103.916931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211338043212891 y=0.165317535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211338043212891 × 217)
    floor (0.211338043212891 × 131072)
    floor (27700.5)     		tx = 27700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165317535400391 × 217)
    floor (0.165317535400391 × 131072)
    floor (21668.5)     		ty = 21668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27700 / 21668 ti = "17/27700/21668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27700/21668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27700 ÷ 217
    27700 ÷ 131072     		x = 0.211334228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21668 ÷ 217
    21668 ÷ 131072     		y = 0.165313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211334228515625 × 2 - 1) × π
    -0.57733154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.81374053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165313720703125 × 2 - 1) × π
    0.66937255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10289591253262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81374053} λ = -1.81374053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10289591253262))-π/2
    2×atan(8.18985270145263)-π/2
    2×1.44929544453308-π/2
    2.89859088906616-1.57079632675     		φ = 1.32779456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81374053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.919678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32779456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.077024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27700 KachelY 21668 -1.81374053 1.32779456 -103.919678 76.077024
    Oben rechts KachelX + 1 27701 KachelY 21668 -1.81369260 1.32779456 -103.916931 76.077024
    Unten links KachelX 27700 KachelY + 1 21669 -1.81374053 1.32778303 -103.919678 76.076364
    Unten rechts KachelX + 1 27701 KachelY + 1 21669 -1.81369260 1.32778303 -103.916931 76.076364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32779456-1.32778303) × R
    1.15300000000929e-05 × 6371000     		dl = 73.4576300005916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32779456-1.32778303) × R
    1.15300000000929e-05 × 6371000     		dr = 73.4576300005916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81374053--1.81369260) × cos(1.32779456) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.24061728120662 × 6371000     		do = 73.4753814423793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81374053--1.81369260) × cos(1.32778303) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.240628472440055 × 6371000     		du = 73.4787988201393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32779456)-sin(1.32778303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24061728120662-0.240628472440055)×R²
    abs(-1.81369260--1.81374053)×1.11912334349873e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11912334349873e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11912334349873e-05×40589641000000     		ar = 5397.45290054019m²