Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27700 / 21652
↖ ↑ ↗
← N 76.087594°
W103.919678°		 ← 73.42 m → N 76.087594°
W103.916931°		 →
↑
73.39 m
↓
↑
73.39 m
↓
N 76.086934°
W103.919678°		 ← 73.42 m →
5 389 m²		 N 76.086934°
W103.916931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211338043212891 y=0.165195465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211338043212891 × 217)
    floor (0.211338043212891 × 131072)
    floor (27700.5)     		tx = 27700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165195465087891 × 217)
    floor (0.165195465087891 × 131072)
    floor (21652.5)     		ty = 21652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27700 / 21652 ti = "17/27700/21652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27700/21652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27700 ÷ 217
    27700 ÷ 131072     		x = 0.211334228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21652 ÷ 217
    21652 ÷ 131072     		y = 0.165191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211334228515625 × 2 - 1) × π
    -0.57733154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.81374053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165191650390625 × 2 - 1) × π
    0.66961669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10366290292654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81374053} λ = -1.81374053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10366290292654))-π/2
    2×atan(8.19613664935805)-π/2
    2×1.44938768576432-π/2
    2.89877537152863-1.57079632675     		φ = 1.32797904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81374053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.919678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32797904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.087594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27700 KachelY 21652 -1.81374053 1.32797904 -103.919678 76.087594
    Oben rechts KachelX + 1 27701 KachelY 21652 -1.81369260 1.32797904 -103.916931 76.087594
    Unten links KachelX 27700 KachelY + 1 21653 -1.81374053 1.32796752 -103.919678 76.086934
    Unten rechts KachelX + 1 27701 KachelY + 1 21653 -1.81369260 1.32796752 -103.916931 76.086934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32797904-1.32796752) × R
    1.15199999999316e-05 × 6371000     		dl = 73.3939199995641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32797904-1.32796752) × R
    1.15199999999316e-05 × 6371000     		dr = 73.3939199995641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81374053--1.81369260) × cos(1.32797904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.240438217122322 × 6371000     		do = 73.4207020700981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81374053--1.81369260) × cos(1.32796752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.240449399160768 × 6371000     		du = 73.4241166400574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32797904)-sin(1.32796752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240438217122322-0.240449399160768)×R²
    abs(-1.81369260--1.81374053)×1.11820384456063e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11820384456063e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11820384456063e-05×40589641000000     		ar = 5388.75843862214m²