Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27700 / 21324
↖ ↑ ↗
← N 53.080828°
W 27.839355°		 ← 366.89 m → N 53.080828°
W 27.833862°		 →
↑
366.97 m
↓
↑
366.97 m
↓
N 53.077527°
W 27.839355°		 ← 366.92 m →
134 644 m²		 N 53.077527°
W 27.833862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422676086425781 y=0.325386047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422676086425781 × 216)
    floor (0.422676086425781 × 65536)
    floor (27700.5)     		tx = 27700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325386047363281 × 216)
    floor (0.325386047363281 × 65536)
    floor (21324.5)     		ty = 21324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27700 / 21324 ti = "16/27700/21324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27700/21324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27700 ÷ 216
    27700 ÷ 65536     		x = 0.42266845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21324 ÷ 216
    21324 ÷ 65536     		y = 0.32537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42266845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1546630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48588841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32537841796875 × 2 - 1) × π
    0.3492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09717975850385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48588841} λ = -0.48588841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09717975850385))-π/2
    2×atan(2.99570548625186)-π/2
    2×1.24861576705075-π/2
    2.49723153410149-1.57079632675     		φ = 0.92643521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48588841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.839355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92643521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.080828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27700 KachelY 21324 -0.48588841 0.92643521 -27.839355 53.080828
    Oben rechts KachelX + 1 27701 KachelY 21324 -0.48579254 0.92643521 -27.833862 53.080828
    Unten links KachelX 27700 KachelY + 1 21325 -0.48588841 0.92637761 -27.839355 53.077527
    Unten rechts KachelX + 1 27701 KachelY + 1 21325 -0.48579254 0.92637761 -27.833862 53.077527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92643521-0.92637761) × R
    5.7599999999991e-05 × 6371000     		dl = 366.969599999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92643521-0.92637761) × R
    5.7599999999991e-05 × 6371000     		dr = 366.969599999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48588841--0.48579254) × cos(0.92643521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600687784432365 × 6371000     		do = 366.892752319677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48588841--0.48579254) × cos(0.92637761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600733833696957 × 6371000     		du = 366.920878647307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92643521)-sin(0.92637761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600687784432365-0.600733833696957)×R²
    abs(-0.48579254--0.48588841)×4.60492645920629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60492645920629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60492645920629e-05×40589641000000     		ar = 134643.647352754m²