Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 277 / 809
↖ ↑ ↗
← S 71.635993°
W 82.617187°		 ← 12.316 km → S 71.635993°
W 82.265625°		 →
↑
12.280 km
↓
↑
12.280 km
↓
S 71.746432°
W 82.617187°		 ← 12.244 km →
150.804 km²		 S 71.746432°
W 82.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27099609375 y=0.79052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27099609375 × 210)
    floor (0.27099609375 × 1024)
    floor (277.5)     		tx = 277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79052734375 × 210)
    floor (0.79052734375 × 1024)
    floor (809.5)     		ty = 809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 277 / 809 ti = "10/277/809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/277/809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 277 ÷ 210
    277 ÷ 1024     		x = 0.2705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 809 ÷ 210
    809 ÷ 1024     		y = 0.7900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2705078125 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44194194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7900390625 × 2 - 1) × π
    -0.580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82236917595605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44194194} λ = -1.44194194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82236917595605))-π/2
    2×atan(0.161642337786453)-π/2
    2×0.160256194031195-π/2
    0.32051238806239-1.57079632675     		φ = -1.25028394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44194194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.617187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25028394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.635993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 277 KachelY 809 -1.44194194 -1.25028394 -82.617187 -71.635993
    Oben rechts KachelX + 1 278 KachelY 809 -1.43580602 -1.25028394 -82.265625 -71.635993
    Unten links KachelX 277 KachelY + 1 810 -1.44194194 -1.25221146 -82.617187 -71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 278 KachelY + 1 810 -1.43580602 -1.25221146 -82.265625 -71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25028394--1.25221146) × R
    0.00192751999999996 × 6371000     		dl = 12280.2299199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25028394--1.25221146) × R
    0.00192751999999996 × 6371000     		dr = 12280.2299199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44194194--1.43580602) × cos(-1.25028394) × R
    0.00613591999999996 × 0.315052894995122 × 6371000     		do = 12316.0308591098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44194194--1.43580602) × cos(-1.25221146) × R
    0.00613591999999996 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 12244.4948073682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25028394)-sin(-1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315052894995122-0.313222951529119)×R²
    abs(-1.43580602--1.44194194)×0.00182994346600268×R²
    0.00613591999999996×0.00182994346600268×6371000²
    0.00613591999999996×0.00182994346600268×40589641000000     		ar = 150804497.760957m²