Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 277 / 213
↖ ↑ ↗
← N 80.503112°
W131.308594°		 ← 3 224.97 m → N 80.503112°
W131.132813°		 →
↑
3 229.84 m
↓
↑
3 229.84 m
↓
N 80.474065°
W131.308594°		 ← 3 234.74 m →
10 431 924 m²		 N 80.474065°
W131.132813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135498046875 y=0.104248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135498046875 × 211)
    floor (0.135498046875 × 2048)
    floor (277.5)     		tx = 277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104248046875 × 211)
    floor (0.104248046875 × 2048)
    floor (213.5)     		ty = 213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 277 / 213 ti = "11/277/213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/277/213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 277 ÷ 211
    277 ÷ 2048     		x = 0.13525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 213 ÷ 211
    213 ÷ 2048     		y = 0.10400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13525390625 × 2 - 1) × π
    -0.7294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29176730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10400390625 × 2 - 1) × π
    0.7919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48811683787939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29176730} λ = -2.29176730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48811683787939))-π/2
    2×atan(12.0385841551593)-π/2
    2×1.48792034553128-π/2
    2.97584069106256-1.57079632675     		φ = 1.40504436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29176730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.308594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40504436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.503112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 277 KachelY 213 -2.29176730 1.40504436 -131.308594 80.503112
    Oben rechts KachelX + 1 278 KachelY 213 -2.28869934 1.40504436 -131.132813 80.503112
    Unten links KachelX 277 KachelY + 1 214 -2.29176730 1.40453740 -131.308594 80.474065
    Unten rechts KachelX + 1 278 KachelY + 1 214 -2.28869934 1.40453740 -131.132813 80.474065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40504436-1.40453740) × R
    0.000506960000000056 × 6371000     		dl = 3229.84216000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40504436-1.40453740) × R
    0.000506960000000056 × 6371000     		dr = 3229.84216000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29176730--2.28869934) × cos(1.40504436) × R
    0.00306796000000009 × 0.164994038331102 × 6371000     		do = 3224.96904477982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29176730--2.28869934) × cos(1.40453740) × R
    0.00306796000000009 × 0.165494028999507 × 6371000     		du = 3234.74184896472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40504436)-sin(1.40453740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164994038331102-0.165494028999507)×R²
    abs(-2.28869934--2.29176730)×0.00049999066840492×R²
    0.00306796000000009×0.00049999066840492×6371000²
    0.00306796000000009×0.00049999066840492×40589641000000     		ar = 10431923.5164453m²