Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 277 / 11
↖ ↑ ↗
← N 84.706049°
W 82.617187°		 ← 3 606.84 m → N 84.706049°
W 82.265625°		 →
↑
3 617.90 m
↓
↑
3 617.90 m
↓
N 84.673512°
W 82.617187°		 ← 3 628.94 m →
13 089 158 m²		 N 84.673512°
W 82.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27099609375 y=0.01123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27099609375 × 210)
    floor (0.27099609375 × 1024)
    floor (277.5)     		tx = 277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.01123046875 × 210)
    floor (0.01123046875 × 1024)
    floor (11.5)     		ty = 11
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 277 / 11 ti = "10/277/11"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/277/11.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 277 ÷ 210
    277 ÷ 1024     		x = 0.2705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11 ÷ 210
    11 ÷ 1024     		y = 0.0107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2705078125 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44194194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0107421875 × 2 - 1) × π
    0.978515625 × 3.1415926535     		Φ = 3.07409749883496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44194194} λ = -1.44194194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.07409749883496))-π/2
    2×atan(21.6303516822169)-π/2
    2×1.52459788852935-π/2
    3.0491957770587-1.57079632675     		φ = 1.47839945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44194194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.617187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47839945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.706049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 277 KachelY 11 -1.44194194 1.47839945 -82.617187 84.706049
    Oben rechts KachelX + 1 278 KachelY 11 -1.43580602 1.47839945 -82.265625 84.706049
    Unten links KachelX 277 KachelY + 1 12 -1.44194194 1.47783158 -82.617187 84.673512
    Unten rechts KachelX + 1 278 KachelY + 1 12 -1.43580602 1.47783158 -82.265625 84.673512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47839945-1.47783158) × R
    0.000567870000000026 × 6371000     		dl = 3617.89977000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47839945-1.47783158) × R
    0.000567870000000026 × 6371000     		dr = 3617.89977000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44194194--1.43580602) × cos(1.47839945) × R
    0.00613591999999996 × 0.0922654647300193 × 6371000     		do = 3606.83659441574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44194194--1.43580602) × cos(1.47783158) × R
    0.00613591999999996 × 0.0928308975419283 × 6371000     		du = 3628.94046354646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47839945)-sin(1.47783158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0922654647300193-0.0928308975419283)×R²
    abs(-1.43580602--1.44194194)×0.000565432811909031×R²
    0.00613591999999996×0.000565432811909031×6371000²
    0.00613591999999996×0.000565432811909031×40589641000000     		ar = 13089158.4286492m²