Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27699 / 21651
↖ ↑ ↗
← N 76.088255°
W103.922424°		 ← 73.43 m → N 76.088255°
W103.919678°		 →
↑
73.46 m
↓
↑
73.46 m
↓
N 76.087594°
W103.922424°		 ← 73.44 m →
5 394 m²		 N 76.087594°
W103.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211330413818359 y=0.165187835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211330413818359 × 217)
    floor (0.211330413818359 × 131072)
    floor (27699.5)     		tx = 27699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165187835693359 × 217)
    floor (0.165187835693359 × 131072)
    floor (21651.5)     		ty = 21651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27699 / 21651 ti = "17/27699/21651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27699/21651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27699 ÷ 217
    27699 ÷ 131072     		x = 0.211326599121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21651 ÷ 217
    21651 ÷ 131072     		y = 0.165184020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211326599121094 × 2 - 1) × π
    -0.577346801757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.81378847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165184020996094 × 2 - 1) × π
    0.669631958007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.10371083982616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81378847} λ = -1.81378847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10371083982616))-π/2
    2×atan(8.19652955615517)-π/2
    2×1.44939344856147-π/2
    2.89878689712294-1.57079632675     		φ = 1.32799057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81378847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.922424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32799057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.088255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27699 KachelY 21651 -1.81378847 1.32799057 -103.922424 76.088255
    Oben rechts KachelX + 1 27700 KachelY 21651 -1.81374053 1.32799057 -103.919678 76.088255
    Unten links KachelX 27699 KachelY + 1 21652 -1.81378847 1.32797904 -103.922424 76.087594
    Unten rechts KachelX + 1 27700 KachelY + 1 21652 -1.81374053 1.32797904 -103.919678 76.087594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32799057-1.32797904) × R
    1.15300000000929e-05 × 6371000     		dl = 73.4576300005916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32799057-1.32797904) × R
    1.15300000000929e-05 × 6371000     		dr = 73.4576300005916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81378847--1.81374053) × cos(1.32799057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240427025345296 × 6371000     		do = 73.4326021320376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81378847--1.81374053) × cos(1.32797904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240438217122322 × 6371000     		du = 73.4360203888179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32799057)-sin(1.32797904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240427025345296-0.240438217122322)×R²
    abs(-1.81374053--1.81378847)×1.11917770265479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11917770265479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11917770265479e-05×40589641000000     		ar = 5394.31046589093m²