Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27697 / 8911
↖ ↑ ↗
← N 78.403642°
W 27.855835°		 ← 122.79 m → N 78.403642°
W 27.850342°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
N 78.402537°
W 27.855835°		 ← 122.80 m →
15 076 m²		 N 78.402537°
W 27.850342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422630310058594 y=0.135978698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422630310058594 × 216)
    floor (0.422630310058594 × 65536)
    floor (27697.5)     		tx = 27697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135978698730469 × 216)
    floor (0.135978698730469 × 65536)
    floor (8911.5)     		ty = 8911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27697 / 8911 ti = "16/27697/8911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27697/8911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27697 ÷ 216
    27697 ÷ 65536     		x = 0.422622680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8911 ÷ 216
    8911 ÷ 65536     		y = 0.135971069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422622680664062 × 2 - 1) × π
    -0.154754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48617604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135971069335938 × 2 - 1) × π
    0.728057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28726122847136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48617604} λ = -0.48617604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28726122847136))-π/2
    2×atan(9.84792948452697)-π/2
    2×1.46959901050233-π/2
    2.93919802100465-1.57079632675     		φ = 1.36840169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48617604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.855835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36840169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.403642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27697 KachelY 8911 -0.48617604 1.36840169 -27.855835 78.403642
    Oben rechts KachelX + 1 27698 KachelY 8911 -0.48608016 1.36840169 -27.850342 78.403642
    Unten links KachelX 27697 KachelY + 1 8912 -0.48617604 1.36838242 -27.855835 78.402537
    Unten rechts KachelX + 1 27698 KachelY + 1 8912 -0.48608016 1.36838242 -27.850342 78.402537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36840169-1.36838242) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dl = 122.769169999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36840169-1.36838242) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dr = 122.769169999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48617604--0.48608016) × cos(1.36840169) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.201015662427793 × 6371000     		do = 122.790714897188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48617604--0.48608016) × cos(1.36838242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.201034539051758 × 6371000     		du = 122.802245710875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36840169)-sin(1.36838242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201015662427793-0.201034539051758)×R²
    abs(-0.48608016--0.48617604)×1.88766239652138e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.88766239652138e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.88766239652138e-05×40589641000000     		ar = 15075.6219663111m²