Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27697 / 21325
↖ ↑ ↗
← N 53.077527°
W 27.855835°		 ← 366.96 m → N 53.077527°
W 27.850342°		 →
↑
366.91 m
↓
↑
366.91 m
↓
N 53.074228°
W 27.855835°		 ← 366.99 m →
134 645 m²		 N 53.074228°
W 27.850342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422630310058594 y=0.325401306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422630310058594 × 216)
    floor (0.422630310058594 × 65536)
    floor (27697.5)     		tx = 27697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325401306152344 × 216)
    floor (0.325401306152344 × 65536)
    floor (21325.5)     		ty = 21325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27697 / 21325 ti = "16/27697/21325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27697/21325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27697 ÷ 216
    27697 ÷ 65536     		x = 0.422622680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21325 ÷ 216
    21325 ÷ 65536     		y = 0.325393676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422622680664062 × 2 - 1) × π
    -0.154754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48617604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325393676757812 × 2 - 1) × π
    0.349212646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09708388470461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48617604} λ = -0.48617604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09708388470461))-π/2
    2×atan(2.99541829035299)-π/2
    2×1.24858697083704-π/2
    2.49717394167408-1.57079632675     		φ = 0.92637761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48617604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.855835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92637761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.077527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27697 KachelY 21325 -0.48617604 0.92637761 -27.855835 53.077527
    Oben rechts KachelX + 1 27698 KachelY 21325 -0.48608016 0.92637761 -27.850342 53.077527
    Unten links KachelX 27697 KachelY + 1 21326 -0.48617604 0.92632002 -27.855835 53.074228
    Unten rechts KachelX + 1 27698 KachelY + 1 21326 -0.48608016 0.92632002 -27.850342 53.074228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92637761-0.92632002) × R
    5.75899999999407e-05 × 6371000     		dl = 366.905889999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92637761-0.92632002) × R
    5.75899999999407e-05 × 6371000     		dr = 366.905889999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48617604--0.48608016) × cos(0.92637761) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.600733833696957 × 6371000     		do = 366.959151399832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48617604--0.48608016) × cos(0.92632002) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.600779872974313 × 6371000     		du = 366.987274560543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92637761)-sin(0.92632002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600733833696957-0.600779872974313)×R²
    abs(-0.48608016--0.48617604)×4.60392773562468e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60392773562468e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60392773562468e-05×40589641000000     		ar = 134644.633351402m²