Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27697 / 21321
↖ ↑ ↗
← N 53.090725°
W 27.855835°		 ← 366.85 m → N 53.090725°
W 27.850342°		 →
↑
366.84 m
↓
↑
366.84 m
↓
N 53.087426°
W 27.855835°		 ← 366.87 m →
134 580 m²		 N 53.087426°
W 27.850342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422630310058594 y=0.325340270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422630310058594 × 216)
    floor (0.422630310058594 × 65536)
    floor (27697.5)     		tx = 27697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325340270996094 × 216)
    floor (0.325340270996094 × 65536)
    floor (21321.5)     		ty = 21321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27697 / 21321 ti = "16/27697/21321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27697/21321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27697 ÷ 216
    27697 ÷ 65536     		x = 0.422622680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21321 ÷ 216
    21321 ÷ 65536     		y = 0.325332641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422622680664062 × 2 - 1) × π
    -0.154754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48617604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325332641601562 × 2 - 1) × π
    0.349334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09746737990157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48617604} λ = -0.48617604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09746737990157))-π/2
    2×atan(2.99656723917433)-π/2
    2×1.24870214244937-π/2
    2.49740428489874-1.57079632675     		φ = 0.92660796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48617604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.855835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92660796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.090725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27697 KachelY 21321 -0.48617604 0.92660796 -27.855835 53.090725
    Oben rechts KachelX + 1 27698 KachelY 21321 -0.48608016 0.92660796 -27.850342 53.090725
    Unten links KachelX 27697 KachelY + 1 21322 -0.48617604 0.92655038 -27.855835 53.087426
    Unten rechts KachelX + 1 27698 KachelY + 1 21322 -0.48608016 0.92655038 -27.850342 53.087426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92660796-0.92655038) × R
    5.75800000000015e-05 × 6371000     		dl = 366.84218000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92660796-0.92655038) × R
    5.75800000000015e-05 × 6371000     		dr = 366.84218000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48617604--0.48608016) × cos(0.92660796) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.600549664660946 × 6371000     		do = 366.846651471614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48617604--0.48608016) × cos(0.92655038) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.600595703911106 × 6371000     		du = 366.874774615713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92660796)-sin(0.92655038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600549664660946-0.600595703911106)×R²
    abs(-0.48608016--0.48617604)×4.60392501603346e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60392501603346e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60392501603346e-05×40589641000000     		ar = 134579.983766415m²