Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27695 / 21680
↖ ↑ ↗
← N 76.069092°
W103.933411°		 ← 73.53 m → N 76.069092°
W103.930664°		 →
↑
73.52 m
↓
↑
73.52 m
↓
N 76.068431°
W103.933411°		 ← 73.54 m →
5 406 m²		 N 76.068431°
W103.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211299896240234 y=0.165409088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211299896240234 × 217)
    floor (0.211299896240234 × 131072)
    floor (27695.5)     		tx = 27695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165409088134766 × 217)
    floor (0.165409088134766 × 131072)
    floor (21680.5)     		ty = 21680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27695 / 21680 ti = "17/27695/21680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27695/21680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27695 ÷ 217
    27695 ÷ 131072     		x = 0.211296081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21680 ÷ 217
    21680 ÷ 131072     		y = 0.1654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211296081542969 × 2 - 1) × π
    -0.577407836914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.81398022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1654052734375 × 2 - 1) × π
    0.669189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10232066973718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81398022} λ = -1.81398022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10232066973718))-π/2
    2×atan(8.18514290245924)-π/2
    2×1.4492262185311-π/2
    2.89845243706219-1.57079632675     		φ = 1.32765611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81398022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.933411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32765611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.069092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27695 KachelY 21680 -1.81398022 1.32765611 -103.933411 76.069092
    Oben rechts KachelX + 1 27696 KachelY 21680 -1.81393228 1.32765611 -103.930664 76.069092
    Unten links KachelX 27695 KachelY + 1 21681 -1.81398022 1.32764457 -103.933411 76.068431
    Unten rechts KachelX + 1 27696 KachelY + 1 21681 -1.81393228 1.32764457 -103.930664 76.068431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32765611-1.32764457) × R
    1.15400000000321e-05 × 6371000     		dl = 73.5213400002044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32765611-1.32764457) × R
    1.15400000000321e-05 × 6371000     		dr = 73.5213400002044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81398022--1.81393228) × cos(1.32765611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240751661249022 × 6371000     		do = 73.5317542931636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81398022--1.81393228) × cos(1.32764457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240762861804076 × 6371000     		du = 73.5351752309794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32765611)-sin(1.32764457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240751661249022-0.240762861804076)×R²
    abs(-1.81393228--1.81398022)×1.12005550542138e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12005550542138e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12005550542138e-05×40589641000000     		ar = 5406.27886416949m²