Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27692 / 21340
↖ ↑ ↗
← N 53.028000°
W 27.883300°		 ← 367.34 m → N 53.028000°
W 27.877808°		 →
↑
367.35 m
↓
↑
367.35 m
↓
N 53.024697°
W 27.883300°		 ← 367.37 m →
134 949 m²		 N 53.024697°
W 27.877808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422554016113281 y=0.325630187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422554016113281 × 216)
    floor (0.422554016113281 × 65536)
    floor (27692.5)     		tx = 27692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325630187988281 × 216)
    floor (0.325630187988281 × 65536)
    floor (21340.5)     		ty = 21340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27692 / 21340 ti = "16/27692/21340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27692/21340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27692 ÷ 216
    27692 ÷ 65536     		x = 0.42254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21340 ÷ 216
    21340 ÷ 65536     		y = 0.32562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.1549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48665540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32562255859375 × 2 - 1) × π
    0.3487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.095645777716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48665540} λ = -0.48665540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.095645777716))-π/2
    2×atan(2.99111365438127)-π/2
    2×1.24815476272557-π/2
    2.49630952545115-1.57079632675     		φ = 0.92551320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48665540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.883300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92551320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.028000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27692 KachelY 21340 -0.48665540 0.92551320 -27.883300 53.028000
    Oben rechts KachelX + 1 27693 KachelY 21340 -0.48655953 0.92551320 -27.877808 53.028000
    Unten links KachelX 27692 KachelY + 1 21341 -0.48665540 0.92545554 -27.883300 53.024697
    Unten rechts KachelX + 1 27693 KachelY + 1 21341 -0.48655953 0.92545554 -27.877808 53.024697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92551320-0.92545554) × R
    5.76600000000704e-05 × 6371000     		dl = 367.351860000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92551320-0.92545554) × R
    5.76600000000704e-05 × 6371000     		dr = 367.351860000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48665540--0.48655953) × cos(0.92551320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601424660970567 × 6371000     		do = 367.342827497211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48665540--0.48655953) × cos(0.92545554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601470726246867 × 6371000     		du = 367.370963604596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92551320)-sin(0.92545554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601424660970567-0.601470726246867)×R²
    abs(-0.48655953--0.48665540)×4.60652762996894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60652762996894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60652762996894e-05×40589641000000     		ar = 134949.23890203m²